次元は、いくつまでありますか？

Question

一次元、二次元、三次元、四次元…

次元に関する話になると、よく耳にしますが、この「次元」の前に来る数字の最大は、今のところ発見されている中では、いくつですか？

stomachman · Accepted Answer

「次元」と言っても、何も「この宇宙の時空の次元」だけが「次元」ではありません。で、数学・物理学・工学には、「無限次元」は普通に出てくる。
　たとえばパソコンでは、色を3つの数値の組で表しています。赤・青・緑の３つの成分がそれぞれいくらの明るさであるか、というデータです。これは「色空間」と呼ばれる抽象的な3次元空間の中の一つの点、として扱うことができます。（実際に「色空間」の模型を作ってみせたものを「色立体」と呼びます。検索すれば見られるかも。）
　さてそこで、「パソコンの画面上のあるひとつの場所(画素,pixel)の色と、そのすぐ右隣の場所の色の組み合わせ」というものを考えれば、それぞれ勝手に別の色になることができますから、これは赤・青・緑の３つの成分を2組使って表される。なので、6次元空間の中の一つの点、として扱うことができます。同様にして、たとえばパソコンの画面が1000×1000個の画素から出来ているなら、パソコンの画面に表示されたひとつの静止画像は3百万次元空間の中の一つの点で表されます。この3百万次元空間は、パソコンの画面で表示することが可能なあらゆる静止画を点として含んでいる空間です。こんな調子。雰囲気はお分かりになるかと。
　一方、数学の一分野であるフラクタル幾何学では、1.5次元だの√2次元だのというものも表れます。

さて、「この宇宙の時空の次元」に関してはどうか。今のところ観測できてるのは4次元。だけど、「実は10次元が実在するんじゃねーか」ですとか、「それは11次元空間の中の曲面なのだよ」だとか、「10次元とは言ってもそれは実在ではなく、やっぱり本当に実在するのは4次元かせいぜい5次元なんじゃ？」とか、いろいろ考えられます。ですが、このあたりの議論は「ほんとに実在するのか、それとも抽象的な次元なのか」の区別をしてもさしたる意味がない。というのは：
　「もともと『この宇宙の時空の次元』という概念自体が抽象的なものじゃないか。4次元というのだって抽象的空間の話だ。だってそれは、理論（一般相対性理論）を記述するために導入したものに過ぎないでしょ。もしそれが実在だというのなら、量子力学を記述するために導入した無限次元空間だって実在ということになるじゃないか。」という立場も取れるからです。

tknakamuri · Answer

一般相対性理論では 空間=3次元 時間=1次元
ですね。

時空が歪んでいるのだからもっと次元が必要では？
と思ったら、実は次元数を増やさずに歪みを
表現できることを知ってびっくり。

ガウスは偉大だったんですね。

量子力学では無限次元らしいけど、
このあたりはよく知らないです。

notnot · Answer

物理学の話であれば、No1の方の書いているとおり。理論的な予想では、10次元とか11次元とか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%BC%A6%E7%90%86%E8%AB%96
「発見」というと四次元ですかね。

数学の話であれば、何次元でもあります。

BookerL · Answer

物理学的な次元は、空間が３次元、時間を含めた「時空」が４次元、というのが一般的ですね。宇宙は１０次元あり、そのうちの３次元だけが現実に観測できるのだ、というような理論もあるようです。

しかし、数学的な次元は「発見する」というようなものではありません。何次元かを考え、そこで数学的な話ができれば、何次元でも扱えるわけです。したがって最大の次元というものはありません。
　「無限次元」もあります。
http://www.geocities.co.jp/technopolis/2061/child/fourier.html

ibm_111 · Answer

数学カテで特に分野も指定しないのであれば、
普通の数学では、ヒルベルト空間あたりが最大でしょう。
これは無限次元（実数と同じ個数）になります。

実数R→実数Rへの関数全体はヒルベルト空間よりも大きいですが、
あまり数学には登場しませんし、次元という言い方もしない気がします。
一般的すぎて扱いにくいのかもしれません。

ok-2011 · Answer

何の次元かによって違うと思います．

ふつうの空間であれば３でしょうが，時間も含めた時空を考えれば４になります．

宇宙は11次元（？）という説もあるようですが，それだけの次元が「発見」されているかというと，それはあやしいと思います．

一方，気体の位相空間（位置と運動量の空間）の次元は気体に含まれる分子の数に比例していくらでも大きくなります（１モルなら 10^24 のオーダー）．それらの次元のひとつひとつを実際に観測することは不可能ですが，存在することは確かだと思います．

こんな回答でも何かの参考になるでしょうか．

次元は、いくつまでありますか？

「次元」と言っても、何も「この宇宙の時空の次元」だけが「次元」ではありません。

一般相対性理論では 空間=3次元 時間=1次元

物理学の話であれば、No1の方の書いているとおり。

物理学的な次元は、空間が３次元、時間を含めた「時空」が４次元、というのが一般的ですね。

数学カテで特に分野も指定しないのであれば、

何の次元かによって違うと思います．

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　「次元」と言っても、何も「この宇宙の時空の次元」だけが「次元」ではありません。

一般相対性理論では空間=3次元時間=1次元

　物理学的な次元は、空間が３次元、時間を含めた「時空」が４次元、というのが一般的ですね。