非線形代数というものもあるのでしょうか

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質問者：kaitara1
質問日時：2007/06/11 21:07
回答数：2件

線形代数ではない代数というものはどんなものなのでしょうか。

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： adinat
回答日時：2007/06/11 21:23

線形代数が有限次元ベクトル空間の理論だと思えば、たとえばアファイン空間の理論は非線形代数と言えるかも知れません。

あるいはより非線形性を強調したければ、代数幾何で扱うような代数曲線などの理論は非線形代数と呼んでよいと思います。代数で扱う数学の分野で、線形でないというのは、あまりに広大なため、わざわざそれをカテゴリカルに非線形代数とひとくくりにすることはないでしょう。それに一般的な理論が作られる分けでもありませんので。

たびたびこの手の質問をお見かけしますが、最近20年ぶりに全面改訂された、(岩波)数学辞典第4版なんかをご購入されてはいかがですか？あるいは、より初学者向けの数学入門辞典というのもあります。現代数学はあまりに細分化されていて、全貌を初学者が把握するのは大変困難ですが、いろいろ思いついたことに関する関連事項を手っ取り早く知るには、なかなか便利な辞典です。

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この回答へのお礼

ご指摘恐縮いたします。言い訳がましいですがまず辞典を読んで納得したことがありません。手抜きをして安易に誰かのご厚意にすがろうとは思っておりません。ご自身が理解されている方の言葉がなんと言ってもありがたいと思っております。御礼ではなく言い訳になってしまいました。

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お礼日時：2007/06/12 18:05

No.1

回答者： kabaokaba
回答日時：2007/06/11 21:20

代数のごくごく一部のある意味で「綺麗なもの」が線形代数です．

代数そのものがかなり綺麗な体系だとは思いますが，
線型代数はその中でも
かなりシンプルというか扱いやすいものです．

基本的な「代数」は「群論」「環論」「体論」です．
基本的にはこれらをいろいろ組み合わせたり
条件設定を変えたりして出てきます．
＃線型代数もそう．
ちょっと毛色の違うものに
「ホモロジー代数」なんてのもあります．

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この回答へのお礼

線形代数はきれいというのが表現として当たっているわけですね。どうもありがとうございます。

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お礼日時：2007/06/12 18:00

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『質問：線形、非線型ってどういう意味ですか？』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;

1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。

勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間＋歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m（あと、長文も勘弁してください）

数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、ｘの値が変化するにつれて変化するｙがあったときに、

（ｙの増加量）／（ｘの増加量）＝Ａ（一定）

という規則が成り立つからです。

ｘやｙの例としては昨日の例で言う例１だとｘがガムの個数、ｙが全体の金額、例２だとｘが時間、ｙが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

（ｙの増加量）＝Ａ×（ｘの増加量）・・(1)

ということがわかります。つまり、Ａの値さえわかれば、ｘが増えたときのｙの値が容易に推測できるようになるわけです。

ここで「Ａの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて（下に落ちるにつれて）落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、１秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。（ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです）

数学の問題のように初めから「時速１００kmで走る」とか「１個１００円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Ａの値さえわかれば」の「Ａ」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。（ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか？？）つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。（これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です）つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。

では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか？実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが（もちろん単なる線形よりは難しいですが）できるようになるわけです。

これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。（つまり、非線形のものが多いんです）

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;