三角錐に内接する球

AB=AC=AD=6　　BC=CD=DB=6√2　　である三角錐ABCDに内接する球の半径を求めよ

この問題の解答と解法を教えてください

お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： ONEONE 回答日時： 2011/11/21 21:30

体積を2通りの方法で表します。

1. (1/3) x (底面積) x (高さ)
2. (1/3) x (△ABC + △ACD + △ADB + △BCD) x (内接球の半径)

1と2が等しいので内接球の半径が計算できます。

この回答への補足

式を書いていただけるとありがたいです

補足日時：2011/11/23 21:51

No.6 回答者： Har-mo-nize 回答日時： 2011/11/22 03:47

この問題の場合、△ABC、△ACD、△ADBの3辺の比が1:1:√2の直角二等辺三角形であるので、そのことを利用してもよいと思います。

頂点Aから平面BCDまでの距離は2√3　（三角錐の体積の式などから求めるのが一般的。点と平面との距離から求めてもよい。）
内接球の中心をI、半径をrとすると、AI=(√3)r、点Iから平面BCDまでの距離はr
従って　2√3 = (√3)r+r　

#1が最もシンプルで一般性のある解法だけどね。

No.5 回答者： banakona 回答日時： 2011/11/21 23:20

3(√94)/4　って７以上あるよ。

直径にしたって長すぎる。

＃１でも＃２でも答えは同じ。半径は３－√３　

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/11/21 23:03

考え方は#1さんので良いと思います。

記号は#2さんの決めた記号を使えば

S=△BCD=(1/2)BC*BDsin60°=18√3

余弦定理より
cos∠ADE=(AD^2+DE^2-AE^2)/(2AD*DE)=7(√6)/24
sin∠ADE=√{1-(cos∠ADE)^2}=(√282)/24
AH=ADsin∠ADE=(√282)/4

三角錐体積V=S*AH/3=9(√94)/2

S1=△ABC=△ABD=△ACD=(1/2)AB*AC=18 (∵△ABDは直角二等辺三角形)

V=(1/3)(3S1+S)r より
内接球の半径r=3V/(3S1+S)=3(√94)/4

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2011/11/21 21:51

△ＢＣＤの中心と各辺との距離aを求めます。

△ＢＣＤは一辺が6√2の正三角形なので
a＝(１／２)＊(６√２)＊tan(π／６)＝(３√２)＊tan(π／６)・・・(1)
次に点Ａと辺ＢＣの中点との距離bを求めます。三平方の定理より
b＝√{６＾２－(３√２)＾２}・・・(2)
△ＢＣＤの中心をＥ、辺ＢＣの中点をＦとすると△ＡＥＦはＥＦ＝a、ＡＦ＝b、
∠ＡＥＦ＝π／２の直角三角形になります。
三角錐ABCDに内接する球の半径をＲとし、辺ＡＥ上にＥＧ＝Ｒとなるように点Ｇを定めると、点Ｇから辺ＡＦに下ろした垂線ＧＨの長さもＲとなります。
△ＡＥＦと△ＡＧＨは相似ですから、ＡＥ＝cとしてc＝√(b ＾２－a＾２)・・・(3)　
b／a＝(c－Ｒ)／Ｒ・・・(4)となります。
この(4)に(1)～(3)で求めたa、b、cを代入してＲを計算することが出来ます。

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2011/11/21 21:34

ＢＣの中点をＥとすると、対称性から球の中心Ｏは△ＡＥＤ上にある。

Ａから△ＢＣＤに垂線を下ろすと、対称性からＯはこの垂線上にある。
垂線と△ＢＣＤの交点をＨとすると、△ＡＥＤの概形は右図のようになる（球とＡＤが接しないことに注意）。
△ＡＢＥで三平方の定理を使うと、ＡＥが求まる。
△ＢＣＤは正三角形だからＤＥの長さは簡単に求まる。なんなら△ＤＢＥで三平方の定理を使ってもいい。
Ｈは△ＢＣＤの重心に一致するからＥＨの長さも求まる。
△ＡＥＨで三平方の定理を使うと、ＡＨが求まる。
球と△ＡＢＣの接点をＪとし、球の半径をｒとすると△ＡＯＪ∽△ＡＥＨから方程式を立てることが出来る。
ここからｒを求める。

解法は示したから解は自分で出して。