数IIの問題です

２つの円 x2+y2-6x-4y+12=0…(1),x2+y2-2x-2y=0…(2)について、

(1)２つの円(1),(2)は異なる２点で交わることを示せ。
(2)２つの円(1),(2)の２つの交点と点(4,0)を通る円の方程式を求めよ。


と言う問題が解らなく困っているので分かる方教えて下さい！

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/18 14:24

[1]

解き方１）
連立方程式を解いて2つの交点を求める。
　２交点を求めると(2,2),(12/5,6/5)

解き方２）
「2円の半径の差＜2円の中心間の距離＜2円の半径の和」を示す。
(1) (x-3)^2+(y-2)^2=1^2　→中心(3,2),半径1
(2) (x-1)^2+(y-1)^2=(√2)^2　→中心(1,1),半径√2
中心間の距離＝√{(3-1)^2+(2-1)^2}=√5≒2.24
　2円の半径の和＝1+√2≒2.41
　2円の半径の差＝√2-1≒0.41
2円の半径の差＜2円の中心間の距離＜2円の半径の和
　∴2円は2点で交わる。

[2]
解き方）
2円の２交点を通る円の方程式
x^2+y^2-6x-4y+12+k(x^2+y^2-2x-2y)=0 …(●)
が点(4,0)を通るようにkを定めればよい。
x=4,y=0を代入して
　4+8k=0 ∴k=-1/2
(●)に代入して式を整理すれば求める円の方程式となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2011/06/18 15:17

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/18 14:09

(1)(2)を左辺どうし右辺どうし引き算すると、直線の式が現れます。

(1)(2)の共通弦を表す式ですが、これを(1)か(2)のどちらかに代入して
x または y のどちらか一方だけの式にすると、二次方程式になります。
判別式の値を計算して、この二次方程式が実数解を持つことを言えば、
残りの y または x は共通弦の式から求めることができて、
交点 (x,y) の存在が言えたことになります。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2011/06/18 15:18

No.1 回答者： springside 回答日時： 2011/06/18 12:36

(1)２つの式を変形すると、

(x-3)^2+(y-2)^2=1
(x-1)^2+(y-1)^2=2
となり、それぞれ、
点(3,2)を中心とする半径1の円、点(1,1)を中心とする半径√2の円
である。
中心間の距離は√5で、半径の和は1+√2であり、√5<1+√2だから、
中心間の距離よりも半径の和の方が大きいから、2つの円は異なる2点で交わる。

(2)2つの円の交点を通る円は、kを実数として、
x^2+y^2-6x-4y+12+k(x^2+y^2-2x-2y)=0　※
と表すことができ、点(4,0)を通るから、x=4,y=0を代入して整理すると、
k=-1/2である。
よって、k=-1/2を※に代入して整理すると、
x^2+y^2-10x-6y+24=0
となる。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2011/06/18 15:19