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直交行列はなぜ直交行列と呼ばれるのでしょうか?
直交行列の直交の意味を教えて下さい。

回転行列は直交行列の一つですが、なぜ直交行列
という名前がついているのか気になったので質問させて頂きました。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

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A 回答 (2件)

直交行列の定義は



A X 'A = E ( 'は転置 E は単位行列)
又は
'A = inv(A) ( inv(A) は A の逆行列)

です。

直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
直交し、大きさが全て 1 になります。
直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
直交し、大きさが全て 1 になります。

直交しているだけではなく、ベクトルが正規化されている
ことに注意してください。

直交行列は、ベクトルの大きさとベクトル間の角度を
保存する変換を行う行列です。回転行列もそのひとつです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ありません。

直交行列の定義は理解出来ました。
ありがとうございます。

>直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
>直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。


上記内容ですが、例えば3×3行列の場合、
第1列と第2列、第1列と第3列、第2列と第3列がともに
直交(垂直=内積がゼロ)ということでしょうか?
また、行も同様。

上の認識でOKでしょうか。

また、大きさが全て1となるとはどういうことなのでしょうか?
直交する場合は内積ゼロになるのではないでしょうか?


申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2012/01/10 21:28
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
追加で新しく質問させて頂きますので、ご回答
よろしくお願い致します。

お礼日時:2012/01/13 12:24

行列を作っている列ベクトルがたがいに垂直だからでしょうね。

内積をとれば0になります。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

すいません。。。
ちょっと理解できませんでした。

例えば3×3行列の場合、
第1列と第2列、第1列と第3列、第2列と第3列がともに
垂直(内積がゼロ)ということでしょうか?

回転行列もそのようになるのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2012/01/03 11:17
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2012/01/14 12:58

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Q線形代数 直交行列 回転行列

直交行列と回転行列について質問させて頂きます。

直交行列の定義は、
行列Aの転置行列がAの逆行列に等しい行列。
つまり、t^A=A^-1。よって、t^AA=At^A=Eが成り立つ。
このとき、行列Aは直交行列である。
また、直交行列の行列式は1である。

また、以前直交行列における「直交」の意味を質問
させて頂きました。
ご回答頂いた内容は、
>直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
>直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
です。ご回答頂いた内容は理解できています。


回転行列の定義
Wikipediaによれば、
回転行列は、常に実数を成分とする正方行列である。
代数学的には、n-次元空間での回転行列はn × nの直交行列であり、
その行列式は1である。

回転行列は常に実数を成分とするとあるのですが、
これはなぜなのでしょうか?

直交行列におけるベクトルの基礎体はCだが、
回転行列におけるベクトルの基礎体はRに限定
されるのでしょうか?

列成分で表される複素数を含む3×3直交行列があったとします。
第一列の成分が、
(a)
(b+ic)
(d)
で表される場合の第一列の大きさ(ノルム)は、
(a)
(b+ic)
(d)

(a)
(b-ic)
(d)
の内積の平方根と言う認識でOKでしょうか?


直交行列であるが回転行列ではない場合というのはあるのでしょうか?
回転行列だが直交行列でない場合というのは存在しないと思います。


以上、質問文が読みづらいかと思いますがご回答よろしくお願い致します。

直交行列と回転行列について質問させて頂きます。

直交行列の定義は、
行列Aの転置行列がAの逆行列に等しい行列。
つまり、t^A=A^-1。よって、t^AA=At^A=Eが成り立つ。
このとき、行列Aは直交行列である。
また、直交行列の行列式は1である。

また、以前直交行列における「直交」の意味を質問
させて頂きました。
ご回答頂いた内容は、
>直交行列では A が含む列ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
>直交行列では A が含む行ベクトルが互いに
>直交し、大きさが全て 1 になります。
で...続きを読む

Aベストアンサー

 #10です。

>一点だけ気になったのですが、等長変換と直交変換は
>同じではないですよね?

 厳密には同じではないです。等長変換はアフィン変換の一種です(よって直交変換は特殊なアフィン変換です)。とは言えその前に、用語を確認させて下さい。自分は好き勝手に数学をやる方なので、この前のように皆さんと、用語がずれてる場合があります。アフィン変換とは、ある行列Aとベクトルξで、

  y=Ax+ξ   (1)

と書けるもの(x,yもベクトル)。これで良いでしょうか?。以下は、(1)で良いとした時の話です。


 等長変換は、内積を不変に保つアフィン変換だと言えます。前回は等長変換T対して、T(0)=0(0は零ベクトル)、すなわち|x|=|T(x)|を無条件で認めましたが今回はそうしないので、等長変換をfで表します。等長変換の定義は前回と同じです。

  |x-y|^2=|x|^2+|y|^2-2(x,y)           (2)

  |f(x)-f(y)|^2=|f(x)|^2+|f(y)|^2-2(f(x),f(y))   (3)

  |x-y|^2=|f(x)-f(y)|^2                (4)

となりますが、(2),(3),(4)を特にy=0で考え、

  |x-0|^2=|x|^2                     (2’)

  |f(x)-f(0)|^2=|f(x)|^2+|f(0)|^2-2(f(x),f(0))   (3’)

  |x-0|^2=|f(x)-f(0)|^2                (4’)

において、(2’),(3’)→(4’)と代入すると、f(0)に関する関係式、

  |x|^2-|f(x)|^2=|f(0)|^2-2(f(x),f(0))        (5)

が得られます。そこで(2),(3)→(4)と代入し、(5)を持ちこむと、

  (x,y)=(f(x)-f(0),f(y)-f(0))            (6)

を簡単に導けます。よって(6)からf(0)=ξとして変換Tを、T(x)=f(x)-ξと定義すれば、やはり(6)から、Tは内積を不変に保ち、しかもT(0)=0かつ|x|=|T(x)|を成り立たせる変換なのは、明らかです。Tが直交変換であるとはまだ言えませんが、Tに対しては、同じく(6)から、

  (x,y)=(T(x),T(y))                  (7)

なので、ここから#10の話を始める訳です。そうしてTが直交変換である事を導けば、T(x)=f(x)-ξなので、

 f(x)=Tx+ξ,Tは直交行列,ξはfに関する定数ベクトル.

となり、fは、内積を不変に保つアフィン変換という事になります。

※ 簡単な事なのにこういうのって、あんまり本には書かれていないんですよね・・・。「抽象的な話はいいからさぁ~」と昔はずいぶん愚痴りました・・・(^^;)。でも、じゅうぶん抽象的か・・・(^^;)。

 #10です。

>一点だけ気になったのですが、等長変換と直交変換は
>同じではないですよね?

 厳密には同じではないです。等長変換はアフィン変換の一種です(よって直交変換は特殊なアフィン変換です)。とは言えその前に、用語を確認させて下さい。自分は好き勝手に数学をやる方なので、この前のように皆さんと、用語がずれてる場合があります。アフィン変換とは、ある行列Aとベクトルξで、

  y=Ax+ξ   (1)

と書けるもの(x,yもベクトル)。これで良いでしょうか?。以下は、(1)で良いとした時...続きを読む

Q相関係数についてくるP値とは何ですか?

相関係数についてくるP値の意味がわかりません。

r=0.90 (P<0.001)

P=0.05で相関がない

という表現は何を意味しているのでしょうか?
またMS Excelを使ってのP値の計算方法を教えてください。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

pは確率(probability)のpです。全く相関のない数字を組み合わせたときにそのr値が出る確率をあらわしています。

統計・確率には100%言い切れることはまずありません。というか100%言い切れるのなら統計・確率を使う必要は有りません。
例えばサイコロを5回振って全て同じ目が出る確率は0.08%です。そんな時、そのサイコロを不良品(イカサマ?)と結論つけるとわずかに間違っている可能性が残っています。ただ、それが5%以下ならp=0.05でそのサイコロは正常ではないと結論付けます。
それが危険率です。(この場合はp=0.1%でもいいと思いますが)
相関係数においても相関の有無を結論つけるにはそのrが偶然出る確率を出すか、5%の確率ならrがどれぐらいの値が出るかを知っておく必要が有ります。

>r=0.90 (P<0.001)

相関係数は0.90と計算された。相関がないのに偶然r=0.90 となる確率は0.001以下だと言ってます。

>P=0.05で相関がない

相関がないと結論。(間違っている確率は5%以下)だと言ってます。

エクセルでの計算ですが、まず関数CORRELを使ってr値を出します。xデータがA1からA10に、yデータがB1からB10に入っているとして

r=CORREL(A1:A10,B1:B10)

次にそのr値をt値に変換します。

t=r*(n-2)^0.5/(1-r^2)^0.5

ここでnは組みデータの数です。((x1,y1),(x2,y2),・・・(xn,yn))
最後に関数TDISTで確率に変換します。両側です。

p=TDIST(t値,n-2,2)

もっと簡単な方法があるかも知れませんが、私ならこう計算します。(アドインの分析ツールを使う以外は)

pは確率(probability)のpです。全く相関のない数字を組み合わせたときにそのr値が出る確率をあらわしています。

統計・確率には100%言い切れることはまずありません。というか100%言い切れるのなら統計・確率を使う必要は有りません。
例えばサイコロを5回振って全て同じ目が出る確率は0.08%です。そんな時、そのサイコロを不良品(イカサマ?)と結論つけるとわずかに間違っている可能性が残っています。ただ、それが5%以下ならp=0.05でそのサイコロは正常ではないと結論付けます。
それが危険率です。(この場...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qポテンシャル、エネルギーって何でしょうか?

大学で電気を勉強しています。ポテンシャル、エネルギーもよく授業などの議論に出てきます。例えば、ある現象を説明するとき単にポテンシャルが低く安定になるように電子が移動したなどといいますが、正直、ポテンシャル、エネルギーがイマイチつかめません。値を計算しろといわれれば計算できますが、何かわかっているようで漠然としています。ぜひ、熱く語っていただける方教えてください。できれば、高校生に分かるくらいの感じで。宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

辞書でpotentialって引いてみて下さい。
可能性を秘めた、潜在的な能力・・・
とあるはずです。


運動エネルギーに変わる可能性のある
エネルギーで、直接測定できないが
そこに潜在的(内面)に存在する
エネルギー一般のことで、
古典力学ではNo.1の方が言われて
いる位置エネルギーのことです。

自分のしている腕時計の位置エネルギーを
考えると、地上にいるときよりビルの上に
いるときのほうが、位置エネルギーは
大きいはずですが、そんな実感は普通ありません。
自由落下で運動エネルギーに変わってから
はじめてその大きさがわかるもので、
mghという公式は、測定からわかった
高さとエネルギーの関係を表しているだけで、
実測するためには、運動エネルギーに
変換してやらないといけません。

電界のポテンシャルエネルギーの場合、
その定義は点電荷の運動で表現
されてますよね。暗黙のうちに
運動エネルギーへの変換をしているわけです。


ポテンシャルエネルギーは、必ず
運動エネルギーとの和で書かれて
いて、本によっては記号Hで
ハミルトニアンと書かれていると
思います。
このHが一定というのが、高校の物理で
出てきたエネルギー保存の法則です。

エネルギー保存の法則があるから、
運動が起こっていなくても、そこには
見えないエネルギー、直接測定できない
エネルギーがあると確信がもてるので、
この見えないエネルギーをポテンシャル
エネルギーと言っているんです。


>ポテンシャルが低く安定になるように電子が移動したなどといいますが、

 運動エネルギーをK、ポテンシャルエネルギーをP
とすると、ラグラジアンLというのが
L=K-P
と定義されます。L>0になるように全ての
自然法則は働くと言われ、これをオプティマル
(最適化)の原理といいます。

複雑な式も

H=K+P
L=K-P

H ハミルトニアン
L ラグラジアン
K 運動エネルギー
P ポテンシャルエネルギー
(運動エネルギーではない、見えないエネルギー)
の原理で書かれていると分かって式を見ると
全体がよく見えると思います。

辞書でpotentialって引いてみて下さい。
可能性を秘めた、潜在的な能力・・・
とあるはずです。


運動エネルギーに変わる可能性のある
エネルギーで、直接測定できないが
そこに潜在的(内面)に存在する
エネルギー一般のことで、
古典力学ではNo.1の方が言われて
いる位置エネルギーのことです。

自分のしている腕時計の位置エネルギーを
考えると、地上にいるときよりビルの上に
いるときのほうが、位置エネルギーは
大きいはずですが、そんな実感は普通ありません。
自由落下で運動エネルギ...続きを読む

Q極座標による重積分の範囲の取りかた

∬[D] sin√(x^2+y^2) dxdy  D:(x^2 + y^2 <= π^2)
を極座標でに変換して求めよ。

という問題で、

x = rcosθ、y = rsinθ とおくのはわかるのですが、
rとθの範囲を、どのように置けばいいのかわかりません。


x^2+y^2
= (rcosθ)^2 + (rsinθ)^2
= r^2{(cosθ)^2 + (sinθ)^2}
= r^2< = π^2

とした後、-π =< r =< π としたのですが、合っているのでしょうか?
rとθの範囲の取りかたを教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

Dは原点中心の半径πの円盤なので、
0≦r≦π、0≦θ<2πです。(-π<θ≦πでもよいです。
等号もどっちにつけても良いです)

ちなみに極座標ではr≧0です。

極座標は原点からの距離rと、x軸とのなす角θを使った点の表示
方法です。

Q「実験室」と「研究室」を英語で?

 英語の質問ですが、専門的だと思いますので、このカテゴリーで質問させていただきます。
 “laboratory”という英単語があります。手持ちの辞書を引くと、
実験室,試験所,研究室[所]
となっていますが、この言葉には二つの意味があると思います。
 一つは、組織としての研究室もしくは研究所です。私が昔持っていた名刺にも、「研究室」あるいは「研究所」の意味で、“laboratory”が使われていました。一方、「場所」としての実験室の意味もあると思います。例えば、研究所の建物で、実験設備のない事務室と実験専用の部屋に分かれているところがあると思いますが、事務室に対して、場所としての実験室を指す場合があると思います。その場合、例えば、
「○○さんは今実験室にいます。」
と英語で言う場合、“laboratory”だけで文脈から通じるのでしょうか?
 そこからさらに考えたのですが、次の二つの英語を、英英辞典のように別の英語で説明する場合、どういうのが適切でしょうか。自分で考えてみましたが、それについてご意見願います。
●組織としての「研究室」の例、「触媒反応研究室」
The catalysis laboratory
…The post[division?] which studies catalysis(触媒反応を研究する部署)
●場所としての「実験室」
The laboratory
…The room which we experiment on(実験をする部屋)

 化学英語に堪能な方、ご意見をお願いします。

 英語の質問ですが、専門的だと思いますので、このカテゴリーで質問させていただきます。
 “laboratory”という英単語があります。手持ちの辞書を引くと、
実験室,試験所,研究室[所]
となっていますが、この言葉には二つの意味があると思います。
 一つは、組織としての研究室もしくは研究所です。私が昔持っていた名刺にも、「研究室」あるいは「研究所」の意味で、“laboratory”が使われていました。一方、「場所」としての実験室の意味もあると思います。例えば、研究所の建物で、実験設備のない事務室...続きを読む

Aベストアンサー

触媒反応研究室
The catalysis laboratory: The group studying on catalysis.

実験室
The laboratory: The room for experiments.

だと思います。

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q回転行列から角度を求める

3Dのプログラミングを行っていますが、ある物体から得た回転行列から、ラジアンの角度を得たいと思っています。

物体はx軸・y軸・z軸にそれぞれ未知の値で回転させられており、
この物体から得られる回転行列Rは3×3の行列として
|r11 r12 r13|
|r21 r22 r23|
|r31 r32 r33|
と与えられています。ここから、x軸・y軸・z軸にそれぞれ何度回転させられているのかを算出するにはどのようにすればいいでしょうか?

参考資料が少ないため、ご教授お願いいたしますm(_ _)m

Aベストアンサー

先ほどの回答はアルゴリズムが複雑なのでもっと簡単な方法を考えてみました。
|r11 r12 r13|
|r21 r22 r23|=A
|r31 r32 r33|
として固有ベクトル v、固有値 λに対して
(A-λE)v=0
なので固有値λ=1のときvは軸の方向なので、
|r11-1 r12  r13 |
|r21  r22-1 r23 |・v=0
|r31  r32  r33-1|
なので(ri1-1 ri2  ri3) (i=1~3)は軸の方向を向いたベクトルとvと直交します。
そこで、0でないベクトルを取ります(ここではaとします)。
この軸と直交したベクトルを行列Aで回転させて、b=Aa とします。
もとのベクトルaとbが成す角度を求めます。
b・a = |a|^2 cosθ、|b×a| = |a|^2 sinθなので、
θ=atan2(|b×a|, b・a)が求める角度になります。

どうでしょう。


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