No.4
- 回答日時:
中学数学が、小学校までの算数と比べて、極めて強力な点は、数を英文字等で表して解くことが許されていることです。
小学校でも、分からない数字を□と書いたりすることはありますが、積極的には使っていません。確かに、数字をすぱすぱと魔法のように操って答えがでるのは、見事に思えます。小学校の算数の最難関の一つにつるかめ算があります。数字を操ってするすると、亀と鶴の数が出て来るのは、不思議なくらいトリッキーです。
でも、算数はそこが限界です。文章に現れた、数同士の難しい関係を式にして、求めたい答を出す式に汎用性がありません。ちょっと問題を変えると、一から考え直しです。
数字の計算は後です。以下のように、問題をさらに分からなくします。その威力はすぐに分かります。
「 弟が歩いて家を出てからT分後に、
兄は自転車で弟を追いかけた。
弟と兄の速さをそれぞれv(m/min)、V(m/min)とすると、
(↑ minは分という意味です)
兄は家を出てからt分後に弟に追いつく」
これで、tを求めたいとしましょう。しかし、まず上の状況を数式で表します。
兄がt分後に弟に追いつくのですから、兄が自転車で走った距離は、Vtです。
弟は兄が出発する直前までに、既にvTの距離を歩いています。
弟はさらに、兄が出発してから、vtだけ歩いて、兄に追いつかれます。
準備はできました。数式にしてみましょう。兄の走った距離と弟が歩いた距離が等しくなる。それが追いつかれるということですね。ですから以下のような数式になります。
Vt=vT+vt
これを、t=[t以外の文字の式]にすればいいわけです。
vT=Vt-vt
vt=(V-v)T
t=((V-v)/v)T
出来上がりです。後は、V=210、v=60、T=15とすれば、この問題は解けますね。計算は筆算でも電卓でもエクセルでもいいですよ。
ちなみに右辺は、(V-v)/vは速さを速さで割っているので、速さの単位[m/min]がきれいに打ち消し合って、Tの[min]、つまり[分]が単位として残ります。左辺もt分で単位は[分]ですから、ちゃんと時間と時間が等しい式になっています。こういう、単位が両辺で合っているかを見直すのも、数式が正しいかどうか、チェックするコツです。
このやり方は、手間がかかって面倒だし、すぱっとした切れ味もありません。
でも、誰でも確実に解けます。しかも、兄の速さや弟の速さや兄が何分後に出発するか、数字は自由自在に変えられます。
これが、数字だけ使う算数に比べて、数字をいったん文字で表す数学の強みです。クイズを解くようなことは要りません。誰でも確実に問題を解けるのです。
No.3
- 回答日時:
「 弟が歩いて家を出てから15分後に、
兄は自転車で弟を追いかけた。
弟と兄の速さをそれぞれ毎分60m、210mとすると、
兄は家を出てから何分後に弟に追いつくか」
>という問題です。
速さ/時間/道のり の関係で
道のり=速さ×時間 を使えばいいです。
兄は家を出てからx分後に弟に追いつくとする。
弟は、兄の出発前の15分間も追いつくまでのx分間も歩いていたから、
(x+15)分間歩いていた。毎分60mで歩いていたから、
60×(x+15)mが進んだ距離
兄は、毎分210mで追いつくまでのx分間進んでいたから、
210×xmが進んだ距離
2人の進んだ距離は同じだから、
60(x+15)=210x
これを解いて、x=6
兄は6分後に弟に追いついた。
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