フックの法則でF=-kΔxとσ=Eεの違い

高校でならうフックの法則はF=k・Δxですが
同じような理屈でσ=Eεと言うのもあります。
こちらをばらしてN/A=E・Δx/Xから変形させても
F=k・Δxにはなりません。
逆に上式のバネ定数をばらしてN=3EI/L^3・Δxにしても
σ=Eεにはなりません.

どのような考え方の違いがあるのでしょうか？

No.5 回答者： AoDoc 回答日時： 2012/01/14 10:23

意味は同じでもバネ定数とヤング率は定義が違うからです。

弾性体についてフックが示した法則は、断面積A、長さLの均一な棒に、力Pを加えたときの伸びΔLは、Aに反比例、PとLに比例するというもので、比例定数の逆数がEです。ΔL=(1/E)PL/A.そうすると、σ=Eεなります。他の回答者も指摘していますように、P=(AE/L)ΔLになり、バネ定数kと(AE/L)と対応しますが、実際は、材料力学のねじりの後半に出てくる密巻コイルバネの解析から、剛性率、バネのコイル径、巻数、線材の径から決められます。

この回答へのお礼

みなさまありがとうございました。

弾性範囲内で力と変位の関係が比例すると言う意味では同じだけども
硬さの指標が異なると言うことなんですね。

お礼日時：2012/01/15 19:02

No.4 回答者： drmuraberg 回答日時： 2012/01/14 09:47

すみません。

質問の意味を取違えていました。
kとEの違いに付いての質問との早とちりでした。忘れてください。

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/01/13 19:44

下記に同様の質問があります。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4137707.html

σ=Eε

σ=F/A
ε=Δx/X

∴F/A = EΔx/X

F = kΔxと比較すると，

k = AE/X

と対応付けることができます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/15 18:56

No.2 ベストアンサー 回答者： k_riv 回答日時： 2012/01/13 19:37

質問の　

　　σ＝Eε
をばらした式
　　N/A=E・⊿x/X
を変形して
　　N=（E・A/X）・⊿x
ここで，Nは軸方向力なので，これを外力と見做して
　　N=F
と置き，
　　k=（E・A/X）
と置けば，
　　F=k・⊿ｘ
となります。

即ち，断面レベルの式が
　　σ=Eε
であり，部材レベルの式が
　　F=ｋ・⊿x
で，同じ意味を持った式です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/15 18:56

No.1 回答者： drmuraberg 回答日時： 2012/01/13 19:20

フックの法則、F=k・Δxの

左辺のFは力で単位はニュートン、単位の次元[N]、
右辺のΔxは変形量で単位は長さ、単位の次元[L]です。
従って、バネ定数kの単位はニュートン／メーター、単位の次元[N*L^(-1)]
となります。
長さLは変形方向です。

他方、応力の式、σ=Eεの
左辺のσは応力で単位はニュートン／平方メートル、単位の次元[N*L^(-2)]、
右辺のεは変形比で単位は無し、単位は無次元[1]です。
従って、比例定数（ヤング率）Eの単位はニュートン／平方メーター、単位の次元[N*L^(-2)]
となります。
しかも、長さLはフックの式中のLとは異なり変形方向に直交する方向で、
面積に関するものです。

両者は次元の異なる物理的意味合いの異なる定数です。
つまり、相互に変換することはできません。
バネ定数は、コイルバネ等の断面積が定義し難い物に応用できます。
ヤング率は、断面積が定義される物だけに応用できます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/15 18:55