tanxのテーラー級数展開式の定義域

1-14に質問致しましたtanx/xの積分に関連した質問です。
tanxは無限に微分可能ですので、ｔanxのテーラー級数展開式 x^1 + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 +62x^9/2835+ .....を求める過程で、定義域が-π/2からπ/2までという制約が入り込む余地が無いように思いますが、どのように理解したら良いのでしょうか。
例えば、tan2をテーラー級数展開式で求めるにはx=2を代入するのではなく、minus tan(π-2)としてx=1.14159を代入するのでしょうか？
御教示お願いいたします。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/16 23:26

tan 2 を計算するなら....

-tan (π-2) か tan 1 から倍角か.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2012/01/17 11:36

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/01/16 19:21

一般に冪級数は、ある実数 r が存在して

|x| < r では広義一様収束、|x| > r では発散という
収束発散のしかたをします。
この r を、その冪級数の「収束半径」と呼びます。
収束半径は、展開中心から、一番近い特異点までの距離です。
tan x のマクローリン展開では、収束半径が π/2 だという訳です。
x=0 から x=±π/2 までの距離ですね。

# 余談ですが、私は Taylor expansion は「テイラー展開」、
# main bank は「メーンバンク」と書きます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。収束半径という述語は聞いたことがありませんでした。

お礼日時：2012/01/16 20:09

No.2 回答者： noname#157574 回答日時： 2012/01/16 17:20

＞テーラー

よっぽど二重母音の発音が苦手なようですな。ということは、メインをメーンと表記されるのですか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/01/16 16:40

元の関数と「テーラー展開して得られる級数」とで定義できる範囲が違うのはよくあることです.

例えば, 1/(1-x) を x = 0 のまわりでテーラー展開すると
1 + x + x^2 + x^3 + ....
という級数が得られますが, この級数の収束半径は 1 であり, したがって x の絶対値が 1以上のところでは定義できません.

この回答へのお礼

ありがとうございました。数学ではよくあることなのですね。

お礼日時：2012/01/16 18:53