曲線C:y=x^2 直線l:y=x-3/4があり、直線l上に点Pをとり、点Pは(k,k-3/4)となる。
点Pから曲線Cにひいた2本の接線のなす角がπ/3の時、kの値を求めよ
接線の式を出すと、s=k-√(k^2-k+3/4) t=k+√(k^2-k+3/4)
とすると、y=2sx-s^2…(1) y=2tx-t^2…(2)
2接線の交点を通り、x軸に平行な直線をmとする。
mと(1)、(2)がなす角をそれぞれα、βとすると、
tan(α-β)=tan(π/3) この式をとけば正解でしょうか?
それともtan(α-β)=tan(2π/3) を解くんでしょうか?
どっちを使うか解説お願いします!
ちなみにtan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1)となりました。
No.11
- 回答日時:
#5,6です。
またまたごめんなさい。間違い訂正します。> #5です。ごめんなさい、間違い訂正します。
>> tan(α-β)=2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
> は
> tan(α-β)=2 ( t - s ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
> です。
は、
tan(α-β)=2 ( t - s ) / ( 1 + 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
でした。本当にオバカ。
No.10
- 回答日時:
ANo.7 です。
怪しいとは思っていましたが、
やはり、間違っていました。
±が必要でした。
#1では、
±(2k-1)√3=√{4(k^2)-4k+3)}
#2では、
±√3=2|s-t)|/(1+4st)
±(1+4st)√3=2√{((s+t)^2)-4st}
±(1+(4k-3))√3=2√{4(k^2)-(4k-3)}
±(2k-1)√3=√{4(k^2)-(4k-3)}
No.9ベストアンサー
- 回答日時:
No.4です。
訂正します。tan(α-β)=2(s-t)/(1+4st)={2√(k^2-k+3/4)}/(2k-1)でした。
この問題は、解と係数の関係を使うべきです。
接点のx座標は x^2-2kx+k-3/4=0の解です。
その解をs,tとすると、接線の傾きは 2s,2t となります。
tanα=2s,tanβ=2t とすると
|α-β|=π/3 または |α-β|=2π/3 となればよいわけです。
2π/3=π-π/3 であることから、tan(2π/3)=-tan(π/3)であるので
|tan(α-β)|=tan(π/3) を解けばよいことになります。
この段階で、sとt、αとβの大小関係は気にしなくてもよいことになります。
No.8
- 回答日時:
こんにちは。
座標平面上で角度を扱う場合、
(1)tanα傾き派 (2)cosα内積派
の2つの方針が考えられます。(新数学演習(東京出版)より)
通常、内積よりも傾きの方が「計算が楽」であるが「場合分けが面倒」
と言われています。
質問者さまは「傾き」に関する質問をお求めですが、
「内積」についての別解をやってみます。
記号は同じにしておきます。
[別解]
y'=2x より、2つの接ベクトルは、
(1, 2s), (1, 2t) となるから、
これらの内積を考えて、
(1, 2s)・(1, 2t)=|(1, 2s)||(1, 2t)|cos60 (またはcos120)
両辺を2乗すると、
4(1+4st)^2=(1+4s^2)(1+4t^2)
s+t=2k, st=k-(3/4) を代入して整理すると(→※)、
32k^2-32k=0 となるので、
(答え) k=0, 1
※ この2つの関係式を導くのに、計算はしていません。
「放物線の2接線の交点の公式」を使っています。
No.7
- 回答日時:
>>π/4<β<π/2<α<5π/4
既に解説済みですが手元の図を仔細に眺めて見れば、
意味が判るのでは・・・。
されど、この事は問題を解くに関して、関係がないと思います。
これは、貴殿が60度に限定したことから始まっています。
問題文に書かれている条件からは、
120度を除く事は読み取れません。
ベクトルならまだしも、
二直線のなす角は2つあるのが基本です。
もちろん、文脈によっては片方に限定される場合もあります。
60度と120度のふたつを算出する方法としては、
<場合分け>と<式の条件を緩める>があります。
わかり難い時は、場合分け。
面倒な時は、条件を緩める。
また、
× tan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1)
× tan(α-β)={√( (k^2)-k+(3/4) )}/(2k-1)
○ tan(α-β)={√( 4(k^2)-4k+3 )}/(2k-1)
#1<式の条件を緩める>て、
と言っても、式上では何の変化もありません。
(2k-1)√3=√{4(k^2)-4k+3)}
3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k+3)
3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k
4k(k-1)=0,,,,,,<k=0,1>
図から明らかではありますが、検算を兼ねて、
k=0の時は、
(p^2)=(3/4)),,,s=-√3/2,,,t=√3/2
<#2を先に書いたのでpになってしました。
<(p^2)-2kp+(k-(3/4))=0を解いたときの、s,tです。
<#2を参照して下さい。
2(s-t)/(1+4st)=√3 となり、
60度の場合で、
k=1の時は、
(p^2)-2p+(1/4)=0
s=(2-√3)/2,,,t=(2+√3)/2
2(s-t)/(1+4st)=-√3 となり、
120度の場合と・・・。
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
#2 (別解)
f(x)=(x^2)
f'(x)=2x
f'(p)=2p,接点は(p,(p^2))
接線の式は、
y=2px-(p^2)
これが、(k,k-(3/4))通るので、
k-(3/4)=2kp-(p^2)
pについて整理して、
(p^2)-2kp+(k-(3/4))=0
接点はふたつあるので、
S(s,(s^2)),f'(s)=2s
T(t,(t^2)),f'(t)=2t
s<t として
tanα=2s,,,tanβ=2t
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
±√3=2(s-t)/(1+4st)
√3=2|s-t)|/(1+4st)
(1+4st)√3=2√{((s+t)^2)-4st}
解と係数の関係より
(s+t)=2k,,,st=(k-(3/4)),,,4st=(4k-3)
(1+(4k-3))√3=2√{4(k^2)-(4k-3)}
(2k-1)√3=√{4(k^2)-(4k-3)}
3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k+3)
3{4(k^2)-4k+1}=4(k^2)-4k
4k(k-1)=0,,,,,,<k=0,1>・・・・。
No.6
- 回答日時:
#5です。
ごめんなさい、間違い訂正します。> tan(α-β)=2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
は
tan(α-β)=2 ( t - s ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
です。
No.5
- 回答日時:
こんにちは。
> 接線の式を出すと、s=k-√(k^2-k+3/4) t=k+√(k^2-k+3/4)
> とすると、y=2sx-s^2…(1) y=2tx-t^2…(2)
で、
> x軸に平行な直線をmとする。
> mと(1)、(2)がなす角をそれぞれα, βとすると、
ということですが、まず、接線とx軸とのなす角度αは-π/2<α<π/2の範囲で決めるということにしてしまいたいと思います(つまり、接線の傾きが正ならα>0、負ならα<0)。また、t>sより(2)の方が(1)より傾きは大きく、-π/2<β<α<π/2とα、βをきめて、tanα=2t , tanβ=2sとします。
こうしますと、tan(α-β) = tan(π/3) を解くべきか、tan(α-β) = tan(2π/3)を解くべきかというご質問は、「2本の接線のなす角がπ/3の時」の「なす角」がどこの角度の事?っていう話になるような気がします。
1)2本の接線が直線m(x軸)となす角の差がπ/3であるならば、tan(α-β) = tan(π/3)を解く。
2)2本の接線が曲線Cを見込む角(曲線Cとの交点をQ,Rとしたときの∠QPR)がπ/3であるならばtan(α-β) = tan(2π/3)を解く。
ということになるのでは?
tan(α-β)=2 ( s - t ) / ( 1 - 4st )=2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)
(2k-1=0になるのはα-β=π/2のとき)
ですので、
1)の場合
2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)=√3 を解いて(2k-1 > 0の条件下で両辺2乗して)k=1を得ます。2本の接線の傾きは2±√3になります。
2)の場合
2 √(k^2 - k + 3/4) / (2k - 1)= -√3を解いて(2k-1<0の条件下で)、k=0を得ます。2本の接線の傾きは±√3になります。
計算間違ってたらすみません。確認お願いします。
No.4
- 回答日時:
>tan(α-β)=tan(π/3) この式をとけば正解でしょうか?
>それともtan(α-β)=tan(2π/3) を解くんでしょうか?
どちらも、解かなければなりませんが、
tan(180-θ)=-tanθ であることから
|tan(α-β)|=tan(π/3)を解いてもよいかと思います。
>ちなみにtan(α-β)=(2k-1)+2/(2k-1)となりました
これ、違いますよ!
接線の傾きが、2s(=tanα),2t(=tanβ)であることから
tan(α-β)=2(s-t)/(1+4st)={√(k^2-k+3/4)}/(2k-1)ですね!
No.3
- 回答日時:
>π/4<β<π/2<α<5π/4となるのはなぜでしょうか?
s<tなので、極限を考えると、
k -∞・・・0・・・+∞
α π/2・・・2π/3・・・5π/4
β π/4・・・π/3・・・π/2
になるはずです。
No.2
- 回答日時:
接線をy=m(x-k)+n とする。
但し、 n=k-3/4とする‥‥(1)曲線C:y=x^2と接線y=m(x-k)+nが接するから、x^2=m(x-k)+nつまり、x^2-m(x-k)-n=0の判別式が0.よって、m^2-4km+4n=0.
これはmの2次方程式だが、その2つの解が2本の接線の傾きになる。
解と係数の関係から、m1+m2=4k、(m1)*(m2)=4n‥‥(2)
条件から、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=(m1-m2)/(1+m1*m2)=tan(π/3)‥‥(3)
後は(3)に(2)を代入してkを求めるだけ。
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