tan5/12πの値の求め方。 →tan(3/4π-π/3)と変形できるのは分かるのですが、3/4π

tan5/12πの値の求め方。
→tan(3/4π-π/3)と変形できるのは分かるのですが、3/4π-π/3を出すためのコツはあるのでしょうか。
毎回試行錯誤して時間が取られてしまいます。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/16 00:26

No.1 です。

5/12 = (9 - 4)/12 = (2 + 3)/12

のどちらでもよいですよね？
　9/12 = 3/4
　4/12 = 1/3
　2/12 = 1/6
　3/12 = 1/4
になるので、分母が 12 なら
　2, 3, 4, 6, 8, 9
が分子に来る組合せを考えればよいわけです。

この回答へのお礼

上の考え方良いですね！

お礼日時：2024/02/16 10:58

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/17 21:25

5π/12=α+β

tan(α)が簡単な値になるときを考える
tan(α)=±1

-π<α<π
tan(α)=1のとき
α=π/4,-3π/4
α=π/4のとき

α+β
=
π/4+β=5π/12
β=5π/12-π/4=π/6

tan(β)=tan(π/6)=1/√3
は簡単な値とはいえない

α=-3π/4のとき

α+β
=
-3π/4+β=5π/12
β=5π/12+3π/4=7π/6

tan(β)=tan(7π/6)=1/√3
は簡単な値とはいえない

tan(α)=-1のとき
α=3π/4,-π/4
α=3π/4のとき

α+β
=
3π/4+β=5π/12
β=5π/12-3π/4=-π/3

tan(β)=tan(-π/3)=-√3

tan(5π/12)
=tan(3π/4-π/3)
={tan(3π/4)-tan(π/3)}/{1+tan(3π/4)tan(π/3)}
=(-1-√3)/(1-√3)
=(1+√3)/(√3-1)
={(1+√3)^2}/{(√3-1)(1+√3)}
={(1+√3)^2}/2
=(4+2√3)/2
=2+√3

α=-π/4のとき

α+β
=
-π/4+β=5π/12
β=5π/12+π/4=2π/3

tan(β)=tan(2π/3)=-√3

tan(5π/12)
=tan(2π/3-π/4)
={tan(2π/3)-tan(π/4)}/{1+tan(2π/3)tan(π/4)}
=(-√3-1)/(1-√3)
=(1+√3)/(√3-1)
={(1+√3)^2}/{(√3-1)(1+√3)}
={(1+√3)^2}/2
=(4+2√3)/2
=2+√3

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/16 15:18

ラジアンから度に直して見るのも良さそうですね

5/12πラジアン＝75度
tanの値を知っている角度には
30、45、60、120、135、150
などがあるから
75度の作り方は
30+45°すなわち(π/6+π/4)
とか
135°−60°すなわち(3π/4+π/3)
などが思いつきそです

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/16 11:10

#4間違えました訂正します

tan(5π/12)

{tan(5π/12)}^2
={sin(5π/12)}^2/{cos(5π/12)}^2
={1-cos(5π/6)}/{1+cos(5π/6)}
={1+cos(π/6)}/{1-cos(π/6)}
={1+(√3/2)}/{1-(√3/2)}
=(2+√3)/(2-√3)
=(2+√3)^2/{(2+√3)(2-√3)}
=(2+√3)^2

tan(5π/12)=2+√3

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/16 11:06

tan(5π/12)

{tan(5π/12)}^2
={sin(5π/12)}^2/{cos(5π/12)}^2
={1-sin(5π/6)}/{1+cos(5π/6)}
={1-sin(π/6)}/{1-cos(π/6)}
={1-(1/2)}/{1-(√3/2)}
=1/(2-√3)
=(2+√3)/{(2+√3)(2-√3)}
=2+√3
=(4+2√3)/2
={(1+√3)^2}/2

tan(5π/12)=(1+√3)/√2

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/16 08:55

三角関数のよく値が知られた角度は (n/4)π と(m/6)π (ｎ. mは正数)

だから、

(n/4)π -(m/6)π ={(3n - 2m)/12}π　から適当に n, m を見繕う

とよいでしょうね。分母が 12 限定だけど

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/02/16 10:58

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/15 23:05

だいたい、分ける先は

　1/6, 1/4, 1/3, 1/2
またはその倍数でしょう？

「狙いをつけて探す」ということです。

この回答へのお礼

慣れですかね。ありがとうございました！

お礼日時：2024/02/15 23:30