最大値と最小値を求める問題

実数x , yが不等式x^2+y^2≦1を満たすとき

(x+y+2)/(x-y+2) の最大値と最小値を求めよ。

という問題です。
どのように解いたら良いでしょうか？

=kなどと置いてみたのですが、その先が分かりません…。

よろしくお願い致します。

No.12 回答者： vNvNvNvNv 回答日時： 2012/08/03 08:28

>高校生相手に、こんな事が通用するか

通用しないのはお前にもだろw
お前、文系か高卒だろw

No.11 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/21 10:45

お前、馬鹿か。

＞つまり　円の内部では　偏微分がともに０になる点はありません　　従って極値がない
＞だから円周上でしか、最大値、最小値はありません。（存在は　コンパクト空間上の連続関数は最大値、最小値＞を持つから言えてる

高校生相手に、こんな事が通用するか。
だから、身の程わきまえろ、って言ってるんだ。高校数学には高校数学の知識で答えなければならない。
それができないなら、書き込むな。

No.10 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/03/21 10:37

＞No.9

ん？　最初にr=1 としてよい議論を書いてますが、間違ってますかね？

No.9 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/21 09:40

＃8の回答は、邪道だけではなく、間違いです。

どこが駄目かというと

＞x＝cos θ　y=sin θ　っておくと

これがウソ。正しくは、x＝r*cos θ　y=r*sin θ　と置き、0≦r≦1としなければならない。
従って、θとrの2変数問題になる。

回答者も、身の程をわきまえて(＝自分の実力を認識して)回答するように、恥をかくだけだ。。。。。。ｗ

No.8 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/03/20 15:57

非常に邪道ですが　微分してもでます（＾＾；。

つまり　円の内部では　偏微分がともに０になる点はありません　　従って極値がない
だから円周上でしか、最大値、最小値はありません。（存在は　コンパクト空間上の連続関数は最大値、最小値を持つから言えてる）

x＝cos θ　y=sin θ　っておくと

θで微分して　０になるのは　　　分子は　　4cos θ　＋ 2
だから　x=-1/2 で　y＝±√３/2

ってでます。

No.7 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/20 13:34

領域から求める問題の基本。

問題の形にだまされてはいけない。だまされている回答者もいるようだが。。。。。ｗ

x^2+y^2≦1 ‥‥(1) (x+y+2)/(x-y+2)=k より、(k+1)y＝(k-1)*(x+2)
k+1≠0から　(2)は　　(k-1)/(k+1)＝αとすると、y＝α*(x+2)‥‥(2)
これは定点(-2、0)を通る傾きがαの直線。従って、この直線が(1)の領域と交点を持つと良いから、円の中心の原点と直線との距離が、円の半径の1以下であると良い。
点と直線との距離の公式から、｜2α｜/√(α＾2＋1)≦1　つまり　｜α｜≦1/√3‥‥(3)
(k-1)/(k+1)＝αを(3)に代入すれば、答えは自動的に出る。

No.6 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/20 03:51

#4です。

A＃4の別解です。
グラフ的に解く方法です。

添付図をご覧下さい。

x^2+y^2≦1 ...(1)
これは原点(0,0)を中心とする半径1の円の内部および円周からなる領域を表す。
また
(x+y+2)/(x-y+2)=k ...(2)
とおき分母を払って移項すると
x+y+2-k(x-y+2)=0　...(3)
これは定点A(-2,0)を通る直線mを表します。
直線mが(1)の円と共有点を持つようなkの範囲を求めれば良い。
直線mが(1)の円周に接するときの接点を図のようにP,Qとおくと

AP=AQ=√(AO^2 -OP^2)=√(2^2-1^2)=√3

直線mがAPに重なる時のkは最大値k=2+√3, P(-1/2,√3/2)
直線mがAQに重なる時のkは最小値k=2-√3, Q(-1/2,-√3/2)

をとり,直線mが円Oと共有点を持つとき

　2-√3≦k≦2+√3

となります。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/03/20 02:13

うぅ～ん....

(x+y+2)/(x-y+2) = k として x^2+y^2 ≦ 1 から x と y の一方を消し二次不等式とみればいいような気がするけど....

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/20 01:56

(x+y+2)/(x-y+2)=kとおくと

　x+y+2=k(x-y+2)
　y(1+k)=(x+2)(k-1) ...(1)

k=-1とすると
　0=-2(x+2) ∴x=-2
x^2+y^2≦1に代入して
　4+y^2≦1
　y^2≦-3
これを満たす実数yは存在しないので矛盾。従って k≠-1 ...(2)
(1)より
　y=(x+2)(k-1)/(k+1) ...(3)
これを
　x^2+y^2≦1 ...(4)
に代入して整理すると
　{2(k^2+1)x^2+4(k-1)^2*x+3k^2-10k+3}/(k+1)^2≦0
(k+1)^2＞0より
　2(k^2+1)x^2+4(k-1)^2*x+3k^2-10k+3≦0
これを満たす実数が存在する条件は
　2(k^2+1)x^2+4(k-1)^2*x+3k^2-10k+3=0 ...(5)
このxについての2次方程式が実数解を持つこと、即ち、判別式 D≧0
　D/4=-2(k+1)^2*(k^2-4k+1)≧0
(k+1)^2＞0より
　k^2-4k+1≦0　∴2-√3≦k≦2+√3 ...(6)

従って、
k=(x+y+2)/(x-y+2)の最小値は k=2-√3 で、最大値は k=2+√3
となる。

最小値の時のx,yは(3),(5)から　 x=-1/2,y=-√3/2
最大値の時のx,yは(3),(5)から　 x=-1/2,y=√3/2
となります。

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/03/20 01:54

実数x , yが不等式x^2+y^2≦1を満たすとき

(x+y+2)/(x-y+2) の最大値と最小値を求めよ。
という問題です。
どのように解いたら良いでしょうか？
＞=kなどと置いてみたのですが、その先が分かりません…。

(x+y+2)/(x-y+2)＝ｋとおく。
ｘ＋ｙ＋２＝ｋ（ｘ－ｙ＋２）より、
（ｋ－１）ｘ－（ｋ＋１）ｙ＋２（ｋ－１）＝０
ｋ＝－１でないとする。（ｋ＋１＝０でない）
ｙ＝｛（ｋ－１）／（ｋ＋１）｝（ｘ＋２）
（ｋ－１）／（ｋ＋１）＝ｍとおくと、
ｙ＝ｍｘ＋２ｍ　……（１）を
ｘ^2＋ｙ^2＝１　……（２）に代入して、
ｘ^2＋（ｍｘ＋２ｍ）^2＝１より、
（ｍ^2＋１）ｘ^2＋４ｍ^2ｘ＋４ｍ^2－１＝０
（１）と（２）が接するときのｋの値が最大値と最小値だから、
判別式Ｄ／４＝４ｍ^4－（ｍ^2＋１）（４ｍ^2－１）＝０
－３ｍ^2＋１＝０より、ｍ^2＝１／３
よって、ｍ＝±ルート３／３
ｍ＝ルート３／３のとき、
（ｋ－１）／（ｋ＋１）＝ルート３／３から、
３（ｋ－１）＝ルート３（ｋ＋１）
（３－ルート３）ｋ＝３＋ルート３
ｋ＝（３＋ルート３）／（３－ルート３）
　＝（３＋ルート３）^2／９－３
　＝２＋ルート３
ｍ＝－ルート３／３のとき、同様にして、
ｋ＝２－ルート３　（ｋはどちらも－１でないから条件をみたす。）
よって、
(x+y+2)/(x-y+2) の
最大値は、２＋ルート３，最小値は、２－ルート３

でどうでしょうか？