
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
∀x∃y P(x,y) は厳密に書くと
∀x(∃y P(x,y))
です。ですから
¬∀x P(x) ⇔∃x¬P(x)
¬∃x P(x) ⇔ ∀x¬P(x)
を順に当てはめてゆけば答えが得られます。
これより ∀x や ∃x を括りだすパターンの方が
面白いですよ。良い練習になります。
∃x P(x)∨∀x Q(x) ⇔∃x [P(x)∨Q(x)]
∀x P(x)∧∀x Q(x) ⇔∀x [P(x)∧Q(x)]
∀x P(x)∨∀x Q(x) →∀x [P(x)∨Q(x)]
∃x P(x)∧∃x Q(x) ←∃x [P(x)∧Q(x)]
No.3
- 回答日時:
● 簡単な例に取り組んでみては、いかがでしょうか。
∀ と ∃ を理解することが、少しは楽になるかもしれません。● ∀x P(x) と ∃x P(x) について
例えば、全体集合 (= 普遍集合 ) U を、いま、自然数全体の集合と定めるとします。すなわち、変数 x の変域を、いま、自然数全体の集合と定めるとします。自然数全体の集合は、{1, 2, 3, … } と表記されることが多々あります。
∀x P(x) ≡ P(1)∧P(2)∧P(3)∧ …
∃x P(x) ≡ P(1)∨P(2)∨P(3)∨ …
なお、≡ は「 同値 」を意味する記号です。∧ は「 かつ 」を意味する記号です。∨ は「 または 」を意味する記号です。
● 説明を簡略化するために、変数 x, 変数 y, 変数 z のいずれの変域も {1, 2} と定めるとします。
¬(∀x P(x)) ≡ ¬(P(1)∧P(2)) ≡ (¬P(1))∨(¬P(2)) ≡ ∃x (¬P(x))
¬(∃x P(x)) ≡ ¬(P(1)∨P(2)) ≡ (¬P(1))∧(¬P(2)) ≡ ∀x (¬P(x))
1) ¬(∀x (∃y P(x, y)))
以下において、P(x, y) を Pxy と表記することにします。
¬(∀x (∃y Pxy))
≡ ¬(∀x (Px1∨Px2))
≡ ¬((P11∨P12)∧(P21∨P22))
≡ (¬(P11∨P12))∨(¬(P21∨P22))
≡ ((¬P11)∧(¬P12))∨((¬P21)∧(¬P22))
≡ ∃x ((¬Px1)∧(¬Px2))
≡ ∃x (∀y (¬Pxy))
2) ¬(∀x (∀y (∃z P(x, y, z))))
以下において、P(x, y, z) を Pxyz と表記することにします。
¬(∀x (∀y (∃z Pxyz)))
≡ ¬(∀x (∀y (Pxy1∨Pxy2)))
≡ ¬(∀x ((Px11∨Px12)∧(Px21∨Px22)))
≡ ¬(((P111∨P112)∧(P121∨P122))∧((P211∨P212)∧(P221∨P222)))
≡ (¬((P111∨P112)∧(P121∨P122)))∨(¬((P211∨P212)∧(P221∨P222)))
≡ ((¬(P111∨P112))∨(¬(P121∨P122)))∨((¬(P211∨P212))∨¬((P221∨P222)))
≡ (((¬P111)∧(¬P112))∨((¬P121)∧(¬P122)))∨(((¬P211)∧(¬P212))∨((¬P221)∧(¬P222)))
≡ ∃x (((¬Px11)∧(¬Px12))∨((¬Px21)∧(¬Px22)))
≡ ∃x (∃y ((¬Pxy1)∧(¬Pxy2)))
≡ ∃x (∃y (∀z (¬Pxyz)))
● 以下の記述は、補足です。よろしければ、お読みください。
論理学では、自然数全体の集合を、{1, 2, 3, … } としないで、{0, 1, 2, 3, … } とすることがあるようです。ご注意ください。
冒頭における ∀x P(x) と ∃x P(x) という表記には、全体集合 U が盛りこまれていません。全体集合 U を盛りこんだ表記としては、例えば、次のものがあります。→ は「 ならば 」を意味する記号です。
全称
∀x ∈ U (P(x))
∀x ((x ∈ U)→P(x))
存在
∃x ∈ U (P(x))
∃x ((x ∈ U)∧P(x))
いずれも、1つ目 の表記は略式であるようです。注目していただきたいのは、それぞれの 2つ目 の表記です。(x ∈ U) と P(x) との間に位置する記号が異なります。
● 私はそこつ者です。以上の記述の中にあやまりが含まれている可能性は高いです。まちがっていましたら、ひらにごめんなさい。
また、理解しづらい個所がございましたら、[ 補足 ]欄 を利用するなどして、遠慮なくお知らせください。
No.1
- 回答日時:
> ¬∀x P(x) ⇔∃¬P(x)
> ¬∃x P(x) ⇔ ∀¬P(x)
いや違いまっせ。
¬∀x P(x) ⇔∃x¬P(x)
¬∃x P(x) ⇔ ∀x¬P(x)
です。
> (1)¬( ∀x ∃y P(x,y) )
解釈も何もない。単に、外から順にド・モルガンやってけばいいだけです。
¬∀x∃yP(x,y)
∃x¬∃yP(x,y)
∃x∀y¬P(x,y)
> (2)¬( ∀x ∀y ∃z P(x,y,z) )
¬∀x∀y∃zP(x,y,z)
∃x¬∀y∃zP(x,y,z)
∃x∃y¬∃zP(x,y,z)
∃x∃y∀z¬P(x,y,z)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 述語論理の基本的な質問 3 2022/04/23 10:35
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 計算機科学 記号と数字を使った複雑な式を教えて下さい 1 2022/12/18 20:51
- 英語 総称的意味の「the+過去分詞」が無冠詞複数形で置き換えることができない理由について 5 2022/08/04 10:14
- 物理学 時間を語るなら、(複数の時間の正体)を知る必要が有る。 1 2023/02/16 22:14
- 法学 株式会社が設立の登記をする場合において、その定款に設立費用にかかる定めがある場合、 5 2022/12/17 05:41
- 英語 仮定法で準否定を表現すると完全否定になる理由等について 4 2023/04/24 18:12
- 日本語 意味とは何か、どこにあるのか? 16 2022/04/09 11:44
- 物理学 量子論のシュレディンガー方程式に、何故、悪魔の槍に似たψ(プサイ)の記号が使われているのですか? 2 2023/01/08 13:18
- 行政学 中学一年五科目500点満点、何点とれる自信ありますか?450点、とれますか? 6 2022/09/20 17:20
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
青の吹き出しの何をどう考えれ...
-
写真は2変数関数の合成微分の公...
-
三角形の面積は、底辺✕高さ÷2 ...
-
この両辺の2Rを払う手順を教え...
-
数学の質問:関数の書き方
-
高校数学について
-
至急 a²b+a-b-1 の因数分解...
-
2980円で買った「15個のリンゴ...
-
数ⅱ等式の証明について。 条件...
-
数学得意な人程宝くじ買わない...
-
この180➗204の計算の仕方教えて...
-
xy平面上の点P(x,y)に対し,点Q(...
-
写真は多変数関数についての「...
-
数学のワークについての質問で...
-
1,189,200円の割引率が0.82500%...
-
なぜ、Δtがdtではなくdτになる...
-
344億円かかった「大屋根リング...
-
【数学】積分したあとに微分す...
-
数学です。267の説明おねがいし...
-
高2です。 数学の問題集につい...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
厄介そうな定積分
-
二重和
-
確率の質問です
-
モンティホール問題について 問...
-
【 畳み込み積分 のτ 意味がよ...
-
数学が得意な人の考え方を知り...
-
この算数問題、何がおかしい? ...
-
サイコロを100回投げて、奇数、...
-
SPI 食塩水の等量交換 完全文系...
-
割り算の不思議
-
足し算のざっくり計算が苦手で...
-
問題 √2が無理数であることを入...
-
なぜ、Δtがdtではなくdτになる...
-
全体100人のうちリンゴ派90人み...
-
新幹線が最高速度に到達するま...
-
これって①番の公式を使うのでし...
-
2.2%は分数で表すと22/1000、約...
-
数学の問題です。110で最小値を...
-
積分について
-
三角関数ですこれはなぜx=0と...
おすすめ情報