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 次の2直線が直交する条件をa,bを用いて表せという問題なのですが、どなたか教えてください。

 a~z+az~=c
b~z+bz~=d

 ただし、~は複素共役を表し、a,bは複素数、c,dは実数です。

 この二直線の傾きの積が-1になればいいのは分かるのですが、二直線の傾きがもとめられません。

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A 回答 (1件)

x,y,a1,a2,b1,b2は実数として複素数を(実部,虚部)の成分表示で書くことにする。



 z=(x,y),a=(a1,a2),b=(b1,b2) ...(1)

とおけば
 
 z~=(x,-y),a~=(a1,-a2),b~=(b1,-b2) ...(2)

(1),(2)を与えられた2式に代入してやれば

 (a1,-a2)(x,y)+(a1,a2)(x,-y)=(c,0)
 (b1,-b2)(x,y)+(b1,b2)(x,-y)=(d,0)

 (2(a1x+a2y),0)=(c,0) ⇒ a1x+a2y=c
 (2(b1x+b2y),0)=(d,0) ⇒ b1x+b2y=d

この2つのx,yについての直線の式が直交する条件なら求められるでしょう?
つまり
 a2=0のとき a1b2≠0,b1=0
 a2≠0のとき b2≠0,a1b1+a2b2=0
これらを整理すれば良いでしょう。
 
なお、
 a1b1+a2b2=0 ⇔ a・b=0 (aとbの内積=0)
a2=Im(a),a1=Re(a),b1=Re(b),b2=Im(b)
で置換え可能です。
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