命題「p⇒q」対偶について

p:(a+b)^2+(a-2b)^2<5
q:|a+b|<1または|a-2b|<2の対偶を次の中から一つずつ選べ。
q:(1)|a+b|<1かつ|a-2b|　　　　　(2)|a+b|<1または|a-2b|
　(3)|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2
　(4)|a+b|≧または|a-2b|≧2
p:(5)(a+b)^2+(a-2b)^2<5　
　(6)(a+b)^2+(a-2b)^2≦5
　(7)(a+b)^2+(a-2b)>5
　(8)(a+b)^2+(a-2b)≧5
で、対偶の意味は「qでないもの⇒pでないもの」と分かってますが、対偶の求め方を教えて下さい。どうして(3)と(8)が対偶で(1)(4)(6)(7)は、対偶でないのか詳しく教えて下さい。(2)と(5)は、全く同じなので大丈夫です。

No.4 回答者： yuuyuu9 回答日時： 2012/05/11 20:35

「裏」「逆」はご存知ですか？

p⇒qの「裏」は￢p⇒￢q　　　　　　　　
p⇒qの「逆」は q⇒p です。

（＊「￢A」 は「Aの否定」の意味）

ちなみに対偶は命題の「裏」の「逆」です。
よって、p⇒qの「対偶」は ￢q⇒￢p　(qでないもの⇒pでないもの)となります。


ここでご質問を見てみると、すこし違和感があります。
p⇒qの「対偶」が￢q⇒￢pなのであって、
p,qの対偶を一つずつ選ぶなんてできません。

NO.2の回答者の方がおっしゃられているように、

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
(1)-(4),(5)-(8)から一つずつ選んでp⇒qの「対偶」を作れ

q:(1)|a+b|<1かつ|a-2b|　　
　(2)|a+b|<1または|a-2b|
　(3)|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2
　(4)|a+b|≧または|a-2b|≧2
p:(5)(a+b)^2+(a-2b)^2<5　
　(6)(a+b)^2+(a-2b)^2≦5
　(7)(a+b)^2+(a-2b)>5
　(8)(a+b)^2+(a-2b)≧5
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

という問題か、あるいは

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
p,qの否定を(1)-(4),(5)-(8)から一つずつ選べ

q:(1)|a+b|<1かつ|a-2b|　　
　(2)|a+b|<1または|a-2b|
　(3)|a+b|≧1かつ|a-2b|≧2
　(4)|a+b|≧または|a-2b|≧2
p:(5)(a+b)^2+(a-2b)^2<5　
　(6)(a+b)^2+(a-2b)^2≦5
　(7)(a+b)^2+(a-2b)>5
　(8)(a+b)^2+(a-2b)≧5
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

という問題ではないかと思います。


そうなると、
否定というのは式中のすべてに
　　「かつ(and)」→「または(or)」
　 「または(or)」→「かつ(and)」
　　　　「≧(>)」→「<(≦)」
　　　　「<(≦)」→「≧(>)」

をほどこせばよいので、

pの否定は(8)
qの否定は(3)

p⇒qの対偶は(3)⇒(8)

となります。

長くなりました。

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2012/05/11 20:13

おっと失礼。

＞「pならばq」の対偶は「(8)ならば(3)」となる。

「(3)ならば(8)」ですね。当然。

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2012/05/11 19:36

＞p:(a+b)^2+(a-2b)^2<5

＞q:|a+b|<1または|a-2b|<2の対偶を次の中から一つずつ選べ。

これって、そもそも問題文として成立しているんでしょうか。
p:(a+b)^2+(a-2b)^2<5
q:|a+b|<1または|a-2b|<2
とするとき、
pならばqの対偶を、下記の(1)～(8)のうちから
(m)ならば(n)の形で選ぶこと。

あたりなら、まだ理解できます。
「pならばq」の対偶は「(8)ならば(3)」となる。

No.1 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2012/05/11 19:25

￢qが(3)で￢pが(8)で

対偶が
(3)→(8)
ではないのでしょうか？