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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)x^2+xy+y^2=1より
(x+y)^2-xy=1
すなわち
u^2-v=1 (1)
x,yが実数のためにx,yを解とする2次方程式
t^2-ut+v=0
が実数解をもつことが必要であり、そのためには判別式
D=u^2-4v≧0 (2)
(1)、(2)がu、vの満たす関係式。
u-v平面に(1),(2)を図示する。(じぶんでやること)
(2)の等号の式と(1)の交点としてu,vの範囲が出る。
v=u^2-1の
-2/√3≦u≦2/√3 (3)
の範囲がu,vの動く範囲であり、
uの最大値は2/√3、最小値は-2/√3
(2)x^2+y^2=zの範囲を求める。
x^2+xy+y^2=1より
z=x^2+y^2=1-xy=1-v
(1)の(2)の範囲におけるvの値は
u=2/√3、-2/√3において v=1/3(最大値)
u=0でv=-1(最小値)
よって
z=x^2+y^2=1-xy=1-vの
最大値は2(v=-1)
最小値は2/3(v=1/3)
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