No.5ベストアンサー
- 回答日時:
>三角形ABCにおいて、辺AB、BC、CAを
>それぞれm:nに分割する点を順にD,E,Fとする。
>m、nを自然数として、
ベクトルでやってみました。ABベクトル、ACベクトルで表すと、
AD=(m/m+n)AB,AF=(n/m+n)AC,AE=(n/m+n)AB+(m/m+n)AC
BCの中点をMとすると、AM=(1/2)(AB+AC)
>(1)三角形DEFの重心と三角形ABCの重心は一致することの証明
△ABCの重心をG,△DEFの重心をG'とすると、
AG=(2/3)AM
=(2/3)・(1/2)(AB+AC)
=(1/3)(AB+AC)
EFの中点をNとすると、DN=(1/2)(DE+DF)
DG'=(2/3)DN
=(2/3)(1/2)(DE+DF)=(1/3)(DE+DF)
AG'-AD=(1/3)(AE-AD+AF-AD)
AG'=(1/3)AE+(1/3)AF-(2/3)AD+AD
=(1/3)(AD+AE+AF)
=(1/3){(m/m+n)AB+(n/m+n)AB+(m/m+n)AC+(n/m+n)AC}
=(1/3)(m+n)/(m+n)(AB+AC)
=(1/3)(AB+AC)
よって、AG=AG'より、重心は一致する。
>(2)どのようなm、nに対してもAE⊥DFとなるとき、
>三角形ABCはどのような三角形か。
m/(m+n)=a,n/(m+n)=bとおくと、
DF=AF-AD=-aAB+bAC,AE=bAB+aAC
(AE・DF)=(-aAB+bAC)・(bAB+aAC)
=-ab|AB|^2-a^2(AB・AC)+b^2(AB・Ac)+ab|AC|^2
=(|AC|^2-|AB|^2)ab+(b^2-a^2)(AB・AC)
=0
どのようなm,nに対しても成り立つためには、
|AC|^2-|AB|^2=0,(AB・AC)=0であれば良いから、
|AB|=|AC|,AB⊥AC
よって、△ABCは、∠A=90度の直角二等辺三角形
No.7
- 回答日時:
No.6です。
修正。/ 3 が抜けてました。誤り ⇒三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c) = 三角形ABCの重心
正しい⇒三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c)/3 = 三角形ABCの重心
No.6
- 回答日時:
(1)A, B. C, D, E, F の座標を位置ベクトル a, b, c, d, e, f とすると
d = (na+mb)/(m+n), e=(nb+mc)/(m+n), f=(nc+ma)/(m+n)
三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c) = 三角形ABCの重心
(2)
ベクトルAE = (n(b-a)+m(c-a))/(m+n)
ベクトルDF = (n(c-a)+m(a-b))/(m+n)
AE・DF = (n^2-m^2)(b-a)(c-a)/(m+n) + mn((a-b)^2-(c-a)^2)/(m+n) = 0
これが任意の m, n で成り立つには (b-a)(c-a)=0⇒ AB⊥AC
(a-b)^2-(c-a)^2 = 0 ⇒ ABの長さ = AC の長さ
つまり頂角Aが直角の2等辺三角形ですね。
No.3
- 回答日時:
書き込みミスと多分 計算ミス。
>A(0、1)、B(-b、0)、C(c、0) 、b<0、c>0としても一般性を失わない。
b>0 のミス。
>直角に交わるから 傾きの積=-1.計算して整理すると (1-bc)m^2-(b^2-c^2)mn-(1-bc)n^2=0
常に成立するから、全ての係数=0.計算すると a=b=c=1。
つまり、正三角形の時。
a=b=c=1の時は、二等辺三角形にしかならない。
方針は間違ってないはずだから、(2)の初めから 計算をチェックしてみて。
計算ミスは 日常茶飯事なんで。。。。w
No.2
- 回答日時:
書き込みが 大変面倒なので 略解を書いとくから 答案の完成は自分でやって。
座標に持ち込んでしまえば、単純な計算問題に過ぎない。
A(0、1)、B(-b、0)、C(c、0) 、b<0、c>0としても一般性を失わない。
(1)ABCの重心は{(c-b)/3、1/3}。3点D、E、Fの座標は D{-bm/(m+n)、n/(m+n)}、E{(cm-bn)/(m+n)、0}、F{cn/(m+n)、m/(m+n)}。
この3点の重心の座標を計算すると、{(c-b)/3、1/3}に一致する。
(2)
直線AEの傾き=-(m+n)/(cm+bn)。直線DFの傾き=(n-m)/(bm-cn)
これが直角に交わるから 傾きの積=-1.計算して整理すると (1-bc)m^2-(b^2-c^2)mn-(1-bc)n^2=0
常に成立するから、全ての係数=0.計算すると a=b=c=1。
つまり、正三角形の時。
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