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数学の図形と計量の問題です。
分かる方がいたら教えて下さい!
ちなみに私は高2なので、高2で解ける
範囲でお願いします。


.

問.傾斜が30°で一定の坂の頂上に塔が立っている。坂のふもとからこの塔の先を見ると、水平面に対して45°の角度に見えた。坂を斜面に沿って塔に向かって30m進んだA点から再び塔の先を見ると、水平面に対して60°の角度に見えた。

(1)A点から坂の頂上まで、斜面に沿ってさらに何mあるか。

(2)塔そのものの高さは何mであるか。

(3)塔の先と坂のふもとの高低差は何mあるか。


ちなみに答えは、
(1)10√3m
(2)10√3m
(3)15√3+15m
になります。


今日中にお願いします!!!
考え方だけでなく、途中式も出来るだけわかりやすく
細かくお願いします!!

注文が多くてすみません。
宜しくおねがいします。

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A 回答 (4件)

図が描けたら、次の手順で進めます。


まず、A点から坂の頂上まで、斜面に沿ってさらにxmあるとして、
坂のふもとを基準にA点及び坂の頂上の水平距離及び高低差を
求めます。
・坂のふもととA点の水平距離は、「傾斜が30°で一定の坂」
なので30cos30°=30*{(√3)/2}(m)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(ア)
・坂のふもとと坂の頂上の水平距離は、同様に(30+x)cos30°
=(30+x){(√3)/2}(m)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(イ)
・坂のふもととA点の高低差は、30sin30°
=30*(1/2)=15(m)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(ウ)
・坂のふもとと坂の頂上の高低差は、(30+x)sin30°
=(30+x)(1/2)=(30+x)/2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(エ)
 次に塔の先の位置を計算します。
「坂のふもとからこの塔の先を見ると、水平面に対して45°
の角度に見えた」ので、坂のふもととこの塔の先の高低差は、
この塔が立っている坂の頂上と坂のふもとの水平距離に等しく
なります。よって、(イ)より
坂のふもととこの塔の先の高低差=(30+x){(√3)/2}(m)・・・・・・・(オ)
 また、「A点から再び塔の先を見ると、水平面に対して60°の
角度に見えた」ので、A点とこの塔の先との高低差は、A点と
この塔が立っている坂の頂上との水平距離)×tan60°になり、
この水平距離は、(イ)ー(ア)=(30+x){(√3)/2}-30*{(√3)/2}
=x(√3)/2なので、A点とこの塔の先との高低差はx{(√3)/2}√3
=3x/2(m)となり、これに坂のふもととA点の高低差を加えると、
坂のふもととこの塔の先との高低差になるので、(ウ)より
坂のふもととこの塔の先の高低差=(3x/2)+15(m)・・・・・・・・・・・・・(カ)
が得られます。
 以上で2地点(坂のふもととA点)から見た塔の先の位置が計算
出来たので、(オ)=(カ)としてxを求めると
(30+x){(√3)/2}=(3x/2)+15よりx=10√3となります。
よって、

(1)A点から坂の頂上まで、斜面に沿ってさらに何mあるか。
この距離をx(m)としたので、10√3(m)・・・答え

(2)塔そのものの高さは何mであるか。
(カ)とx=10√3から
坂のふもととこの塔の先の高低差=(3x/2)+15=(3*10√3)/2+15
=15√3+15
(エ)とx=10√3から
坂のふもとと坂の頂上の高低差=(30+x)/2=(30+10√3)/2=15+5√3
塔そのものの高さは(坂のふもととこの塔の先の高低差)マイナス
(坂のふもとと坂の頂上の高低差)なので、
15√3+15-(15+5√3)=10√3(m)・・・答え

(3)塔の先と坂のふもとの高低差は何mあるか。
(2)の計算過程から15√3+15(m)・・・答え
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 添付画像のように、直角二等辺三角形(右下)の辺の比率は1:1:√2であり、30°、60°、90°であれば、2:1:√3になります。



 斜面の長さをxとします。
すると坂のふもとから坂の頂上までの水平距離は、{(√3)x}/2、高低差はx/2です。
ふもとから塔の先までの角度が45°ということですから、その高低差は水平距離と同じ{(√3)x}/2です。
すると、塔の高さは[{(√3)x}/2]-(x/2) = [{(√3)-1}x]/2

 斜面を30m上がると、塔の先までの角度が60°になります。
A点から坂の頂上までの水平距離は√3(x-30)/2、高低差は(x-30)/2です。
A点と塔の先までの高低差は、√3{√3(x-30)}/2 = 3(x-30)/2
塔の高さは、{3(x-30)/2}-{(x-30)/2} = x-30

どちらも同じ等の高さだから、[{(√3)-1}x]/2 = x-30
{(√3)-1}x = 2x-60
{(√3)-1-2}x = -60
(-3+√3)x = -60
x = -60/(-3+√3) = {-60(-3-√3)}/{(-3+√3)(-3-√3)}
= {-60(-3-√3)}/(9-3) = -10(-3-√3) = 30+10√3
斜面の長さx=30+10√3<m>

(1)A点から頂上までは、30+(10√3)-30 = 10√3<m>
(2)塔の高さは、30+(10√3)-30= 10√3<m>
(3)塔の先とふもとの高低差は、{(30+10√3)/2}+10√3 =15+15√3<m>
(ふもとから頂上までの高低差は、斜面の長さの1/2だから、それに塔の高さを加えると求まる。)
「図形と計量」の回答画像3
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図のように三角形EBC、塔CD、点F,Gをとり、


AC=x, CD=y, BD=z とする。
また問題文より、AE=30

∠DEB=45°,∠B=90° より、
BE=z=(30+x)cos30°・・・(1)
∠CAF=30°より、∠DAC=60°-30°=30°
∠DGB=60°より、∠ADF=30°
よって、∠ADF=∠DAC だから x=y・・・(2)

(30+x)sin30°+y=z ・・・(3)(←BC+y=z)

(1)(2)(3)をといて x=10√3, y=10√3, z=15+15√3
「図形と計量」の回答画像2
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図をかきなさい。

この回答への補足

図を書いたのですが、どこからどう手をつけていいのか分かりません…。
この範囲は苦手なので…。
ホントに困っています。
途中式を教えていただけませんか?
お願いします。

補足日時:2012/07/06 00:04
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