直列システムの故障率について

a,bからなる直列システムの故障率（1/MTBF）がaの故障率とbの故障率の和になる理由が判りません。

No.10 ベストアンサー 回答者： jjon-com 回答日時： 2012/08/23 00:36

元の質問者をないがしろにして応酬が続いていくのも失礼なので，私の方でも別途 質問をたてることにしました。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7658319.html

No.9 回答者： jjon-com 回答日時： 2012/08/22 18:13

To: o_chi_chi さん(ANo.8)

それは違うように思うのですが。

二次元平面上の地図のあり得るすべての姿を私は提示することができません。
それはずいぶんと複雑でパターンや規則性があるか否かすら私には分かりません。

でも，ANo.6は，
a,bの２個の部品だけに限定せずｍ個に置き換えても通用する，
故障発生を２時間だけに限定せずｎ時間に置き換えても通用する，
そんな拡張性を持った例のように私には思えます。

> 単純な地図を４色で塗り分けて「ほら４色でできるでしょ」

というのとは異なり，
直列システムにはパターンや規則性があるようなイメージを私は持っています。
（ｍやｎに置き換えても通用する ＝ パターンや規則性がある，ということです）

--------
質問を変えます。

(a) ANo.6の単純なイメージでは通用しない反例があり，それは○○である。
だから，まず信頼度に直したり指数関数を経由したりといった
ANo.4, ANo.5のアプローチをとらねばならない。

(b) ANo.6のイメージはあまりに単純だけれど，別に反例はない。
証明するにはまったく厳密ではないので，ANo.4, ANo.5のアプローチが必要。

という問いかけをしたら，どちらになるのでしょう？

ユークリッド原論のように５つの公理だけを起点に他のすべてを証明していく行為は
数学的には非常に重要で原理的なことなのでしょうけれど，
数学ド素人の立場からは「こんな普通の事を証明するのか…」と荷が重いです。

申し訳ありませんが，私は数学に強い関心を持っているわけではないので，

> 単純な例の説明と証明は別です。

と言われてもあまり関心がわきません。結果的に合っているならそれでいいじゃんという，愚連隊のような存在です，すみません。

でも，ANo.4, ANo.5のアプローチを経ることで単純な例では通用しない間違いが示されるのだとしたら，それには大いに関心があります。

No.8 回答者： o_chi_chi 回答日時： 2012/08/22 13:48

KSnakeさん置き去りにしてすみません。

単純な例の説明と証明は別です。

たとえば四色問題

「二次元平面上の地図(ただし飛び地はないものとする)は必ず4色で塗り分けることが可能か否か」

単純な地図を４色で塗り分けて、「ほら４色でできるでしょ」といっても理論的な証明がないと

どんな場合でもあてはまるか判断できないでしょ。

No.7 回答者： jjon-com 回答日時： 2012/08/22 11:43

差し支えなければ o_chi_chi さんにお聞きしたいです。

ANo.4, ANo.5 のような展開が必要だということは，
裏を返せば，私のANo.6のような小学生レベルの理解は間違っていることになるのでしょう。

数学についてはド素人なので
説明していただいても私が理解できるかどうか心許ないのですが，
差し支えなければ，ANo.6の間違いを教えていただきたいです。

No.6 回答者： jjon-com 回答日時： 2012/08/22 10:45

> aの故障率とbの故障率の和になる理由が判りません。

和でないのなら，どうであるなら判るというのかが分かりません。

例として，MTBF＝2時間だとすると，
aが1時間稼働中に故障発生する確率は2時間中に1回すなわち1/2，
bが1時間稼働中に故障発生する確率は2時間中に1回すなわち1/2，
aの故障発生とbの故障発生は独立しており
直列システムではaの故障もbの故障もシステム全体の故障になるのだから，
a,bからなる直列システムが1時間稼働中に故障発生する確率は
2時間中に2回すなわち1でしょう。

故障率が1というのは，
1時間のうち1時間すべてで故障停止しているという概念ではないですから。

No.5 回答者： o_chi_chi 回答日時： 2012/08/22 09:48

No4です

参考URL：http://avalonbreeze.web.fc2.com/38_01_02_02_reli …

No.4 回答者： o_chi_chi 回答日時： 2012/08/22 09:33

信頼度に直して計算しましょう

aシステムの信頼度Raは

(a,bの故障率をλa,λbとする)

Ra = exp(-λat)

aとbの信頼度Rは

R = Ra × Rb
= exp(-λat) × exp(-λbt)
= exp(-(λa + λb)t)

よって全体の故障率λは

λ = λa + λb

No.3 回答者： ok-kaneto 回答日時： 2012/08/22 09:13

誤解させたのであれば申し訳ありません。

#2の回答の中の(故障率)というのは「単位時間あたりに故障している確率」です。
問題の中の故障率は「何時間使用すると壊れるか」です。似たようなものですが、定義が微妙に異なります。


こう考えるとどうでしょうか。


直列の場合は、それぞれの機械が故障している確率を足すということは、

「サイコロで１または２が出る確率」
　＝サイコロで１が出る確率　＋　サイコロで２が出る確率

No.2 回答者： ok-kaneto 回答日時： 2012/08/21 21:37

厳密に言えば、

a+b-ab
重複分を引かないといけないですね。

稼働率(MTBF/(MTTR+MTBF))の計算と違うので、注意してください。



例えば、まったく重複しない場合だと
a 0.5
b 0.5
だとすると、故障率は1(100%)です。

AとBという機器が直列に稼動していたら、ABという直列稼動機器の故障率は
(稼働率) = (1-a)(1-b) = 1-a-b+ab
(故障率) = 1-(稼働率) = a+b-ab

この回答への補足

なんかおかしいです。
故障率＝1/MTBFという定義ではないのですか。

補足日時：2012/08/22 07:18

No.1 回答者： bin-chan 回答日時： 2012/08/21 21:30

「直列だから」aかbのどちらか一方が故障したら使えない。

（もしかすると同時に壊れているかもしれないが、通常は考えない）

この回答への補足

>直列だから」aかbのどちらか一方が故障したら使えない。
それは分るのですが、それからaの故障率＋bの故障率が全体の故障率になる理屈は何ですか。

補足日時：2012/08/21 21:39