No.3ベストアンサー
- 回答日時:
具体的な例としては、
命題>Aが好きな人はBとCが好きである
>↓
対偶>BかCが好きでない人はAが好きでない
というものですね。
一つずつやってみましょう。
まず、対偶だけを考えるため、命題を単純化してみます。少しはっきりさせても見ます。
命題:Aが好きな人は、必ずBが好きな人である。
この命題が正しいとします。
もし、ある人がAが好きだが、Bが好きでないとします。すると、その人については「Aが好きな人で、Bが好きでない」例だということになります。すると、上の命題は正しくないという証明になります。
これを反例といって、一つでも見つかれば、「必ず~である」という命題を否定する証明になります(「一部は~である」ですと否定の証明をしたことにはなりません)。
もう少し考えてみると、「Bが好きな人」の一部が「Aが好きな人」ということが分かります。全部でもいいですけど、「Aが好きな人」全員を集めたとき、「Bが好きな人」以外の人、つまり「Bが好きでない人」がいてはなりません。
もしいたら、「Aが好きな人で、Bが好きでない人」がいることになってしまいます。それでは、命題を正しいとしたことに反します。
すると、「Bが好きな人」を全員除いて考えると「Bが好きでない人」だけになり、すると「Bが好きな人」の一部であった「Aが好きな人」もいなくなって、「Aが好きでない人」だけになります。ですので、
対偶:Bが好きでない人は、必ずAが好きでない人である。
が正しいとなります。
なお、命題が「AならばBである」だと、対偶は、「Bでないなら、Aでない」です。上では、対偶:「Bが好きな人でないなら、必ずAが好きな人でない。」を、お示しの文に近づけるようにしてみました。
命題:Aが好きな人は、必ずBが好きである。
逆に、この命題が正しくないとします。つまり、「Aが好きな人で、Bが好きでない人が(少なくとも一人)いる。」ということになります。たった一人でもいいので、そういう人がいるということですね。一人もいなければ命題が正しいことになりますから。
じゃあ、「Bが好きでない人」が、必ず「Aが好きでない」のかどうかですね。これは、たった一人でも「Aが好きで、Bが好きでない人」(=「Bが好きでなくて、Aが好きな人」)がいることに反します。つまり、そういう人が、
対偶:Bが好きでない人は、必ずAが好きでない。
に対する反例であることになります。「Bが好きでない人」全員を集めたら、その中に少なくとも一人は「Aが好き」なわけですから。
そういうわけですので、
命題:Aが好きな人は、必ずBが好きである。
対偶:Bが好きでない人は、必ずAが好きでない。
の二つは真偽(正しい・間違い)が必ず同じになります。命題が正しいときには、必ず対偶も正しく、命題が間違いのときには、必ず対偶も間違いになります(対偶から出発しても同様なので省略します)。
>Aが好きな人はBとCが好きである
命題:Aが好きな人は、必ずBとCの両方が好きな人である。
こう書き換えておきますね。上記から増えたのが、「Bが好きである」から「BとCの両方が好きである」ということですね。
すると、「『BとCの両方が好きである』のではない人」が、どういう人なのかということですね。
「Bが好きでなくてCが好きな人」は当てはまります。「Bが好きでCが好きでない人」は当てはまります。さらに、「Bが好きでなくてCも好きでない人」も当てはまります。
それが、「BかCが好きでない人」です。普通の日本語では、「BかCか、どちらかだけ好きでない人」という意味で言うことも多いですが、論理学ですと、どちらも好きでない人も含めます。
「『BとCの両方が好きである』のではない人」は、「BかCが好きでない人」となるわけです。
これを少し抽象的にすると、「『BかつCである』のではない」、「BまたはCでない」(「BかCでない」でも可)になります。
そこで、上でご説明しました「Bが好きでない人」を「BかCが好きでない人」に置き換えると、お示しの、
命題>Aが好きな人はBとCが好きである
>↓
対偶>BかCが好きでない人はAが好きでない
が出てきます。
P.S.
お示しの文章には、「AならばBである。BならばCである。よって、AならばCである」といった三段論法の具体的な例がないので、とりあえず省略します。
もし、三段論法で分かりにくいと思われたものを示して頂ければ、何かお手伝いできるかもしれません。
とりあえず、具体的で分かりやすい例をいくつか試して、それらが飲みこめたところで、それをどういう場合にでも通用するような抽象的な説明の理解に進まれると、回り道のようでいて、実は近道になるかと思います。
No.2
- 回答日時:
厳密さに欠ける箇所があったので、前半部を訂正します。
「嫌い」と書いてある箇所は「好きでない」に、「存在する」と書いた箇所は一部「存在する可能性がある」に訂正します。
・「Aが好きな人はBとCが好きである」
「Aが好き」な人は、必ず「BとCが好き」ということを意味します。
「Aが好き」なのに、「BとCが好きでない」という人は存在しないということです。
一方、「Aが好きでない」人には、「BとCが好き」な人も「BとCが好きでない」人も両方存在する可能性があります。
「好き」を〇、「好きでない」を×として、整理しますと
A BとC
〇 〇
× 〇
× ×
の3種類のタイプの人が存在する可能性があることがわかります。
この表を見ればわかると思いますが、「BとCが好きでない」人は、必ず「Aが好きでない」人になります。
No.1
- 回答日時:
「なぜ」以降の部分について、先に説明します。
・「Aが好きな人はBとCが好きである」
「Aが好き」な人は、必ず「BとCが好き」ということを意味します。
「Aが好き」なのに、「BとCが嫌い」という人は存在しないということです。
一方、「Aが嫌い」な人には、「BとCが好き」な人も「BとCが嫌い」な人も両方存在します。
「好き」を〇、「嫌い」を×として、整理しますと
A BとC
〇 〇
× 〇
× ×
の3種類のタイプの人が存在することがわかります。
この表を見ればわかると思いますが、「BとCが嫌い」な人は、必ず「Aが嫌い」な人になります。
・ ド・モルガンの法則
A、Bという2つの命題が存在する場合、「AかつB」の否定は、「Aの否定」と「Bの否定」の和になり、「AまたはB」の否定は、「Aの否定」と「Bの否定」の積になると言うものです。言葉だけではわかりにくいので、ベン図に書いて考えた方が良いと思います。
・ 対偶
質問例が、まさに対偶の例に当たります。
「AならばB」という条件が当てはまる場合は、必ず「BでなければAではない」という命題が当てはまることを言います。
・ 三段論法
「AならばB」で、かつ「BならばC」であれば、「AならばC」であることを言います。
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