【数学】正弦定理におけるsinについて

正弦定理を証明する際、三角形ＡＢＣとその外接円を使って証明しますよね？
A<90°のとき、円周上に点Ｄをとって円周角の定理より

sinA=sinD=BC/BD=a/2R

となるようですが…

sinというのは直角三角形における辺の比を表しているものなんですよね？
でも三角形はすべて直角三角形とは限りませんし、なぜ直角三角形ではない三角形でsinAと表せるのか疑問に思いました。
sinAと表す時はその角Ａを持つ三角形が直角三角形であるという前提がなければダメなんじゃないですか？

どなたか答えてくださると嬉しいですm(_ _ )m

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/09 11:55

>正弦定理を証明する際、三角形ＡＢＣとその外接円を使って証明しますよね？

>A<90°のとき、円周上に点Ｄをとって円周角の定理より
>sinA=sinD=BC/BD=a/2R >となるようですが…

その「外接円」での操作では、辺 BC を見こむ「中心角」が不変ですから、角 A = 角 D = 中心角/2 。
また、角 BCD は円径 2R を見こむ円周角なので、直角。

おもむろに、直角三角形 BCD にて、
　sin(D) = 2R/a
として、角 A = 角 D だから、
　sin(A) = 2R/a
を得てます。

>でも三角形はすべて直角三角形とは限りませんし、なぜ直角三角形ではない三角形でsinAと表せるのか疑問に思いました。
>sinAと表す時はその角Ａを持つ三角形が直角三角形であるという前提がなければダメなんじゃないですか？

上記の推論は、直角三角形とは限らぬ三角形 ABC から、角 A と等しい角 D をもつ直角三角形 DBC を作ることで、目的を達しているわけです。

　　　

No.4 回答者： asuncion 回答日時： 2012/09/08 23:35

ていうか、正弦定理の前に、サインカーブを書いてみてください。

「すべての角度について」、それに対応する正弦値が存在しますよね。
直角三角形における辺の比「だけが正弦ではない」という事実に気づきましょう。

No.3 回答者： aries_1 回答日時： 2012/09/08 23:20

正弦定理は、三角形の辺の長さの比と対応する角(その辺の両端に含まれない角)の正弦(←sinのこと)の比が等しいことを示しているだけです。

例えば、sinA:sinB:sinC=1:2:3であれば、a:b:c=1:2:3となります。

なので、別にsinは直角三角形の時にしか使えない訳ではありません。

しかし、各辺の長さから分数を使って直接sinの値を求めることは、直角三角形の時にしか出来ません。
三角形が直角三角形でないときは、問題文にsinやcosの値が書いてあります。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/09/08 23:12

なんかさいしょからおかしい.

正弦定理は「三角形ＡＢＣとその外接円 (の半径)」との間の関係なんだから, 「三角形ＡＢＣとその外接円を使って証明」するのはある意味あたりまえだよ... 使わずに, どうやって証明するんだろう.

あと, なんで「A<90°のとき」だけとりあげたの? 鈍角のときには成り立たないんだっけ?

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/09/08 22:58

＞sinAと表す時はその角Ａを持つ三角形が直角三角形であるという前提がなければダメなんじゃないですか？

典型的な反例を挙げてみます。
すべての内角が60°である正三角形（どこにも直角は登場しませんね）の場合、
sin60°は求められないのでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なるほど補助線を引いて考えれば求められますね…。
わたしの質問でも同じように補助線を引いて直角三角形を作れば納得できそうです。

お礼日時：2012/09/08 23:16