2点からその延長線上にある点の座標をしりたい

３D空間における座標やベクトルの計算について勉強しております。

点Aと点Bの座標がわかっている状態と仮定して、点ABを結んだ直線ABの延長線上に点Cが存在します。
求めたい点Cの座標の一部（z軸）はわかっていると仮定します。（x3, y3, 0）

この時の、点Cにおける座標（x3とy3）はどのように計算して求めますか？
（壁方向に動いてるとして、その壁の座標を知りたいのです。）

Zの条件は z1＞z2＞z3=0 です。（左手座標系）
XとYの条件は 0<=xもしくはy<=480 です。
また、点Cは線ABの延長線上に必ずありますが、点B-C間の距離は点A-B間の距離と同一とは限りません。（同一になることもあります）


ほかに必要な条件や情報があれば教えてください。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/11/04 19:28

直線ABのベクトル方程式は，この上の点をP(x,y,z)として，

AP=kAB
OP=OA+tAB=(x_1,y_1,z_1)+t(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)

ここでP=Cすなわちx=x_3,y=y_3,z=0として

(x_3,y_3,0)=(x_1,y_1,z_1)+t(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)

z成分の方程式より

0=z_1+t(z_2-z_1)
∴t=-z_1/(z_2-z_1)

これをx,y成分の方程式に代入して，

x_3=x_1+t(x_2-x_1)
=x_1-z_1(x_2-x_1)/(z_2-z_1)
={x_1(z_2-z_1)-z_1(x_2-x_1)}/(z_2-z_1)
=(x_1z_2-z_1x_2)/(z_2-z_1)（答）

y_3=y_1+t(y_2-y_1)
=y_1-z_1(y_2-y_1)/(z_2-z_1)
={y_1(z_2-z_1)-z_1(y_2-y_1)}/(z_2-z_1)
=(y_1z_2-z_1y_2)/(z_2-z_1)（答）

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/11/04 18:49

Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上にあるということは、

→ＡＣ＝ｐ→ＡＢ
と表わされるということです（ｐは実数）。これを成分で表わすと
ｘ３－ｘ１＝ｐ（ｘ２－ｘ１）
ｙ３－ｙ１＝ｐ（ｙ２－ｙ１）
０－ｚ１＝ｐ（ｚ２－ｚ１）
これはｐ、ｘ１、ｙ１の三つが未知数で式が三つあるので、あとは連立方程式を解くだけです。