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No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
A#1より
I=∫(a→b)(px+q-logx)dx=[px^2/2+qx](a→b)-∫(a→b)1*logxdx
=(p/2)(b^2-a^2)+(q+1)(b-a)+aloga-blogb
=H(p,q)
f(x)=px+q-log(x)
f'(x)=p-1/x
f'(x)=0の時 x=1/p
[1]p≧1/aの時 f(x)の最小値f(a)=pa+q-log(a)≧0
[2]1/b<p<1/aの時 f(x)の最小値f(1/p)=1+q+log(p)≧0
[3]0<p≦1/bの時 f(x)の最小値g(b)=pb+q-log(b)≧0
[1],[2],[3]を纏めて(p,q)の存在領域を図示すると添付図のようになる。
この領域の(p,q)でのH(p,q)の最小値は
[2]の領域の1+q+log(p)=0の時、すなわち q=-1-log(p)の時の最小値であるから、
H(p,-1-log(p))=g(p)=(a-b)log(p)-(a^2-b^2)p/2-blog(b)+alog(a)
dg(p)/dp=(a-b)(1/p-(a+b)/2)
より
Iの最小値g(2/(a+b))=(b-a)log(e/2)+(b-a)log(a+b)-blog(b)+alog(a)
このときのp=2/(a+b),q=log(a+b)-log(2e)
となります。
【注】A#2の答えと一致します。
![「積分の問題です。」の回答画像4](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/a/827568_5497e1b4aea11/M.jpg)
No.3
- 回答日時:
ANo.2です.答には影響しませんが,M(p)について記述を強化しました.
px+q≧logx(a≦x≦b)となるためのp,qの満たす条件を求める.
f(x)=px+q-logx(a≦x≦b)の最小値が0以上であればよい.
f'(x)=p-1/x=p(x-1/p)/x
p≦0のときf'(x)<0∴f(x)≧f(b)=pb+q-logb≧0
0<pのとき
(i)1/p<aのときx-1/p≧a-1/p>0,f'>0∴f(x)≧f(a)=pa+q-loga≧0
(ii)a≦1/p≦bのときx<1/pのときf'(x)<0,1/p<xのときf'(x)>0∴f(x)≧f(1/p)=q+1+logp≧0
(iii)b<1/pのときx-1/p≦b-1/p<0,f'<0∴f(x)≧f(b)=pb+q-logb≧0
つまり
・p<1/bのときq≧-bp+logb
・1/b≦p≦1/aのときq≧-logp-1
・1/a<pのときq≧-ap+loga
となる.
S(p,q)=∫_a^b(px+q-logx)dx=[px^2/2+qx-xlogx+x]_a^b
=[px^2/2+(q+1)x-xlogx]_a^b
=p(b^2-a^2)/2+(q+1)(b-a)-(blogb-aloga)
はqについて増加関数である.よって
・p<1/bのときS(p,q)≧S(p,-bp+logb)
・1/b≦p≦1/aのときS(p,q)≧S(p,-logp-1)
・1/a<pのときS(p,q)≧S(p,-ap+loga)
ここでそれぞれの場合のS(p,q)の下限をM(p)とする:
・p<1/bのときM(p)=S(p,-bp+logb)=-p(b-a)^2/2-alog(b/a)+b-a
・1/b≦p≦1/aのときM(p)=S(p,-logp-1)=p(b^2-a^2)/2-(b-a)logp+aloga-blogb
・1/a<pのときM(p)=S(p,-ap+loga)=p(b-a)^2/2-blog(b/a)+b-a
M(p)は連続的微分可能であり,M(p)の最小値がIである.
・p<1/bのときdM(p)/dp=-(b-a)^2/a<0
・1/b<p<1/aのときdM(p)/dp=(b^2-a^2)/2-(b-a)/p={(b^2-a^2)/(2p)}{p-2/(a+b)}
・1/a<pのときdM(p)/dp=(b-a)^2/2>0
dM(p)/dpはp=1/b,1/aで連続である.
1/b<p<1/aのとき,a<(a+b)/2<bより1/b<2/(a+b)<1/aに注意すれば
・p<2/(a+b)のときdM(p)/dp<0
・p=2/(a+b)のときdM(p)/dp=0
・2/(a+b)<pのときdM(p)/dp>0
でありp=2/(a+b)のときM(p)は次の最小値をとる.
M(2/(a+b))=S(2/(a+b),-log{2/(a+b)}-1)
={2/(a+b)}(b^2-a^2)/2+(-log{2/(a+b)}-1+1)(b-a)-(blogb-aloga)
=b-a+(log{(a+b)/2})(b-a)-(blogb-aloga)
(答)p=2/(a+b),q=log{(a+b)/2}-1,I=(b-a)log{(a+b)/2}+b-a+aloga-blogb
No.2
- 回答日時:
px+q≧logx(a≦x≦b)となるためのp,qの満たす条件を求める.
f(x)=px+q-logx(a≦x≦b)の最小値が0以上であればよい.
f'(x)=p-1/x=p(x-1/p)/x
p≦0のときf'(x)<0∴f(x)≧f(b)=pb+q-logb≧0
0<pのとき
(i)1/p<aのときx-1/p≧a-1/p>0,f'>0∴f(x)≧f(a)=pa+q-loga≧0
(ii)a≦1/p≦bのときx<1/pのときf'(x)<0,1/p<xのときf'(x)>0∴f(x)≧f(1/p)=q+1+logp≧0
(iii)b<1/pのときx-1/p≦b-1/p<0,f'<0∴f(x)≧f(b)=pb+q-logb≧0
つまり
・p<1/bのときq≧-bp+logb
・1/b≦p≦1/aのときq≧-logp-1
・1/a<pのときq≧-ap+loga
となる.
S(p,q)=∫_a^b(px+q-logx)dx=[px^2/2+qx-xlogx+x]_a^b
=[px^2/2+(q+1)x-xlogx]_a^b
=p(b^2-a^2)/2+(q+1)(b-a)-(blogb-aloga)
はqについて増加関数である.よって
・p<1/bのときS(p,q)≧S(p,-bp+logb)
・1/b≦p≦1/aのときS(p,q)≧S(p,-logp-1)
・1/a<pのときS(p,q)≧S(p,-ap+loga)
ここでそれぞれの場合のS(p,q)の下限をM(p)とする:
・p<1/bのときM(p)=S(p,-bp+logb)
・1/b≦p≦1/aのときM(p)=S(p,-logp-1)
・1/a<pのときM(p)=S(p,-ap+loga)
M(p)は連続関数でp=1/b,1/a以外では微分可能である.M(p)の最小値がIである.
いずれの場合もM(p)は
M(p)=[S(p,q)=p(b^2-a^2)/2+(q+1)(b-a)-(blogb-aloga)においてqがpの関数]
の形をしているので,このpによる導関数は
dM(p)/dp=(b^2-a^2)/2+(b-a)dq/dp=(b-a){(a+b)/2+dq/dp}
となる.
・p<1/bのときdq/dp=d(-bp+logb)/dp=-b
・1/b<p<1/aのときdq/dp=d(-logp-1)/dp=-1/p
・1/a<pのときdq/dp=d(-ap+loga)/dp=-a
であるから,
・p<1/bのときdM(p)/dp=(b-a){(a+b)/2-b}=-(b-a)^2/a<0
・1/b<p<1/aのときdM(p)/dp=(b-a){(a+b)/2-1/p}={(b^2-a^2)/(2p)}(p-2/(a+b)}
・1/a<pのときdM(p)/dp=(b-a){(a+b)/2-a}=(b-a)^2/2>0
ここで1/b<p<1/aのとき,a<(a+b)/2<bより1/b<2/(a+b)<1/aであり
・p<2/(a+b)のときdM(p)/dp<0
・2/(a+b)<pのときdM(p)/dp>0
まとめると
・p<2/(a+b)のときM(p)は減少
・2/(a+b)<pのときM(p)は増加
でありp=2/(a+b)のときM(p)は次の最小値をとる.
M(2/(a+b))=S(2/(a+b),-log{2/(a+b)}-1)
={2/(a+b)}(b^2-a^2)/2+(-log{2/(a+b)}-1+1)(b-a)-(blogb-aloga)
=b-a+(log{(a+b)/2})(b-a)-(blogb-aloga)
(答)p=2/(a+b),q=log{(a+b)/2}-1,I=(b-a)log{(a+b)/2}+b-a+aloga-blogb
No.1
- 回答日時:
ヒント)
[方針]だけ
f(x)=px+q-log(x) (0<a<=x<=b)でf(x)の最小値g(p,q)を求め g(p,q)≧0を満たす(p,q)の条件下で
H(p,q)=∫(a→b)(px+q-logx)dx=[px^2/2+qx](a→b)-∫(a→b)1*logxdx
=(p/2)(b^2-a^2)+q(b-a)-([xlogx](a→b)-∫(a→b)1dx)
=(p/2)(b^2-a^2)+q(b-a)-(blogb-aloga)+(b-a)
=(p/2)(b^2-a^2)+(q+1)(b-a)+aloga-blogb
が最小となる(p,q)を求めれば良い。
a,bが文字定数だと混乱するので、まず a,bに具体的な値を与えてやってみるといいかと思います。
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