2次の行列の性質

2×2の行列Ａ、Ｂで
　Ａ＾６＝Ａ　　Ｂ＾６＝Ｂ
を満たすときＡＢ＝ＢＡを示す、という問題が解けません。
成分表示して、ケーリーハミルトンの定理で次数を下げて、Ａ，Ｂが満たすべき性質を考えたりしていますが、６次、ということで文字があふれて手に負えません。

成分表示しなくてもいい方法があるのかも、と思いつつ、ご教授お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ramayana 回答日時： 2013/02/04 23:00

2×2の行列 A が A^6 = A を満たす必要十分条件は、

「Aの最小多項式が X(X^5 -1)の因子であること 」

で、さらに、基礎体の標数が0なら、その必要十分条件は、

「A の固有値が 0, 1, ω, ω^2, ω^3, ω^4 のどれかであって、かつ、Aが対角化可能であること」

です。ただし、ω = e^(2πi/5)。なお、対角化可能の条件は、X(X^5 -1) が重複因子を持たないことから導かれます。

これらの条件を満たす行列は限られてくるので、その中から可換でない２個の行列を探せば、反例になります。添付図のような簡単な反例も見つかりました。

この回答へのお礼

お礼が遅くなりましてすみません。

丁寧なご回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/02/24 00:08

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/04 08:58

成分計算では、見通しが悪い。

No.1 の反例の出所は、おおかた、
A と B の特性多項式が共通だということ。
2 次行列だから、特性多項式は 2 次式だが、
この 2 次式で (xの6乗) を割った余りが
1x+0 になるという話だ。
質問文で、ケイリー・ハミルトンを使った
次数下げに触れているね？

No.2 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/02/04 06:23

ramayanaさんの例で確かに反例になっています．

B^6 の右上の成分は
1 + ω + ω^2 + … + ω^5 = 1 + ω(1 + ω + … + ω^4)
となりますが
0 = ω^5 - 1 = (ω - 1)(ω^4 + … + ω + 1)
より 1 + ω + … + ω^4 = 0 とわかります．したがって B^6 の右上の成分はたしかに 1 です．

なので問題はそもそも間違っているか，条件が足りないかのどちらかですね．

## それにしてもramayanaさん，よくこの例が思いつきましたね．

No.1 回答者： ramayana 回答日時： 2013/02/02 23:05

添付図のようなのが反例では？

この回答へのお礼

書き込みありがとうございます。
Ｂの方もＢ＾６＝Ｂを満たしますか？

お礼日時：2013/02/04 04:28