No.2
- 回答日時:
ramayanaさんの例で確かに反例になっています.
B^6 の右上の成分は
1 + ω + ω^2 + … + ω^5 = 1 + ω(1 + ω + … + ω^4)
となりますが
0 = ω^5 - 1 = (ω - 1)(ω^4 + … + ω + 1)
より 1 + ω + … + ω^4 = 0 とわかります.したがって B^6 の右上の成分はたしかに 1 です.
なので問題はそもそも間違っているか,条件が足りないかのどちらかですね.
## それにしてもramayanaさん,よくこの例が思いつきましたね.
No.3
- 回答日時:
成分計算では、見通しが悪い。
No.1 の反例の出所は、おおかた、
A と B の特性多項式が共通だということ。
2 次行列だから、特性多項式は 2 次式だが、
この 2 次式で (xの6乗) を割った余りが
1x+0 になるという話だ。
質問文で、ケイリー・ハミルトンを使った
次数下げに触れているね?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
2×2の行列 A が A^6 = A を満たす必要十分条件は、
「Aの最小多項式が X(X^5 -1)の因子であること 」
で、さらに、基礎体の標数が0なら、その必要十分条件は、
「A の固有値が 0, 1, ω, ω^2, ω^3, ω^4 のどれかであって、かつ、Aが対角化可能であること」
です。ただし、ω = e^(2πi/5)。なお、対角化可能の条件は、X(X^5 -1) が重複因子を持たないことから導かれます。
これらの条件を満たす行列は限られてくるので、その中から可換でない2個の行列を探せば、反例になります。添付図のような簡単な反例も見つかりました。
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