国債の売却価格の計算方法

Question

国債の売却価格の算出方法を教えてください。

金利が上がると国債の価格が下がるということは理解できたつもりです。
表面利率が低い古い国債は、表面利率が高い新しい国債の利回りと同程度の利回りを出す為には利率で追いつけない分を実売価格を下げることで利率を高くするのと同じ結果にしようということですよね？

それで教えていただきたいのですが、
下のQuestionは過去に掲載されていたものの抜粋ですが、
どうやって売却価格　918,378円　が出てくるのか分かりません。
算出方法（計算式）を教えてください。

【Question】
2005年1月1日に、表面利率1%、額面100万円の10年満期の国債が発行されました。
あなたは、それを100万円で購入します。
その後金利が上昇し、
2006年1月1日に、表面利率2%、額面100万円の10年満期の国債が発行されました。
さて、あなたの持っている2005年債は一体いくらで売却できるでしょうか？
大切なのは、答えの絶対値ではなく、その算出の仕方にあります。
だから答えを先に書いてしまいましょう。およそ918,378円です。

answer119 · Accepted Answer

お返事遅れて申し訳ありません。
前回の回答の中の式で一部誤りがありました。
正しくは次のとおりです。

今から９年後の償還で受け取る元本の割引現在価値は、100万円÷(1+2%)^9

失礼しました。
これで1年目から9年目までの1万円と、満期償還額100万円の割引現在価値の合計は918,377.6円になります。

それで2005年発行の債券の価格の計算になぜ2006年発行の債券の利回りを使ったかですが、そもそもご提示のQuestionの出所はこちらのサイトのようですね。

http://www.yuichiro-itakura.com/essay/start/smu_64.html

このサイトの説明では、

「2005年債も2006年債も期間の違いが無視できるほど小さいので期間のリスクを考慮しなければ、全く同じ価値（＝同じ国の国債）ということになり、最新の2006年債の表面利率2%を2005年債の割引率にも適用」

となっています。
2005年発行の利回りも2006年発行の利回りもその差は誤差程度だから2006年発行の利回りを使おうとしたようです。
大雑把な計算ならそれでいいかもしれませんが、現実にはあまりそのような計算はしないと思いますけど。

債券の一年あたりの利回りは、通常、残り期間に応じて異なります。
残り9年の債券の利回りは、現在から1年後までの利回りと、1年後から2年後までの予想利回り、2年後から3年後までの予想利回り、…、8年後から9年後までの予想利回りの平均値（幾何平均）です。
また、残り10年の債券の利回りは、現在から1年後までの利回り、1年後から2年後までの予想利回り、2年後から3年後までの予想利回り、…、8年後から9年後までの予想利回りに、さらに9年後から10年後までの予想利回りを含めて平均値（幾何平均）を求めます。
そのため残り9年の債券と残り10年の債券の利回りは異なるのが通常です。
2番目の回答者さんが説明していますが、通常は残りの期間が長くなるほど利回りは高くなります。

simotani · Answer

残存9年の国債と残存10年の国債では、基本的には利回りが違うのが普通です。この利回りをグラフにしたものが「イールドカーブ」と云い、残存年数に応じた利回りになります。
通常は長期程利回りは高く短期程利回りは低いのでそういう曲線になるはずですが、平成25年3月現在では、3年以内のイールドカーブは全て年0.1％前後(因みに3ヶ月国債の入札利回りは年0.054％でした)。となると、長期もだんだん下がって来ています。
例えば本件では昨年発行の10年ものはクーポン1％で、本年発行の10年ものはクーポン2％でした。となると残存9年のイールドカーブがどの位置かで本来価格が決まる筈です。利回り2.0％にはならない。1.95なのか1.8なのかで価格は変わります。
更に言えば、現在は10年ものがクーポン２％で発行されている、５年後にはクーポン３％になっているかも知れません。けど、残存4年のイールドカーブが１％だったら、最初のクーポン年1％の国債は同じですからほぼ額面通りで売れる事になります。

answer119 · Answer

債券の価格は、将来のキャッシュフローの割引現在価値（あるいは現在価値）を合算したものです。
割引現在価値という考え方がどのようなものかは詳しく説明しているサイトがたくさんあると思いますのでそちらを参考にしてください。
債券の将来のキャッシュフローはクーポンの支払と元金の償還です。
この問題の場合、クーポンの支払は年に一回としているようで、残り9回あります。
クーポン支払の金額は1％×100万円で1万円です。
割引率をどうするかですが、残り9年の債券の利回りと残り10年の債券の利回りが一緒ということはないのですが、ここではほぼ一緒と考え、残り10年の利回り2%を割引率として使います。

今から１年後の1万円の割引現在価値は、1万円÷(1+2%)
今から２年後の1万円の割引現在価値は、1万円÷(1+2%)^2
今から３年後の1万円の割引現在価値は、1万円÷(1+2%)^3
…
今から９年後の1万円の割引現在価値は、1万円÷(1+2%)^9
今から９年後の償還で受け取る元本の割引現在価値は、1万円÷(1+2%)^9

これらを全部合算すれば、918,377.6円になります。
ここで、^の記号はべき乗を表します。

国債の売却価格の計算方法

お返事遅れて申し訳ありません。

残存9年の国債と残存10年の国債では、基本的には利回りが違うのが普通です。

債券の価格は、将来のキャッシュフローの割引現在価値（あるいは現在価値）を合算したものです。

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