データセットx_i (i=1,2,...n)の 分散 v を考えます(式が面倒になるので、平均は0とします)。
通常でしたら、データの2乗の平均でいいのですが(平均は0なので)、これはデータセットの各データが均等の確率で現れるという前提で求められる分散です。
一般には、
v=Σ p(i) x_i^2
となると思います(p(i)はデータx_iが現れる確率)。
次にこれを行列で表すことを考えます。
データセットのベクトルをX (列ベクトル)とすると、
v = X^{T} W X
という行列の積になります。
ここでWは
W=diag (p_1, p_2,...p_n)
という対角行列で、まあ加重行列とでも呼びましょう。
さて、ここからが質問なのですが、この方式で歪度は表現できるのでしょうか?
平均が0なので、歪度はデータの3乗の平均です。加重を考えると、
歪度 = Σp(i)\times x_i^3
です。
これを X と Wで表現したいのですが、どうもうまくいきません。
何か知恵がございましたらよろしくご教示ください。
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