加法と減法の説明の問題

Question

中1の授業でなぜ（＋3）－（＋5）を（＋3）＋（－5）のように＋と－をひっくり返すのか説明する宿題がでました。どのように説明すればよいか教えて下さい。

ORUKA1951 · Accepted Answer

＞なぜ（＋3）－（＋5）を（＋3）＋（－5）のように＋と－をひっくり返すのか
　小学校で四則計算を学びましたね。
・掛け算は、単位となる数を何回加え続けるかという意味
　　３個のイチゴが乗った皿を４枚で何個か？
　　　　3+3+3+3 ⇒ 3×4
　　なので
　 　　4×3だと｛バツ｝にされましたよね。
・小さい数から大きい数は引けない!!
　　4-3 はできるけど　3-4はできない。
　また、だからと言って　3-4　は答えが違う　差を求めるならよいけど
 
　★計算には順番があると厳しく指導されたはずです。

中学校で、算数から数学になりました。
ここで、一番重要なことは、数の拡張です。
1) 負数(0より小さい数)を導入することで、
　　3-4はできない！！！
　　・・できないのですよ!!300円しか入ってない財布から400円は支払えない。
　しかし、
　ゼロより小さい数を想定する--例えば-1 ---ことで
　　 3 + (-4) = -1
　と計算できるようになりました。
　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^あくまで計算ができる。
　　引き算ではなく!!!、負の数を加えると考えること。引き算は忘れること
　そうすると、不思議なことが・・
　　3-4 ≠ 4-3 でしたが、 3+(-4) とすると 3+(-4) = (-4) + (+3)と入れ替えることができるようになります。
　15+8-5-3 = 15+(-5)+8+(-3) = 10+ 5

★もうひとつあります。!!割り算も逆数の掛け算に変わります。分数の導入です。
　6÷3 ≠ 3÷6 ですが、6÷3 = 6×(1/3) = (1/3)×6

四則計算で重要な
・交換則　　　A?B=B?A　　? は + ×
・結合則
・分配則
　で自由に扱えるようになる。結合・分配は後で習う・・・
　最終的には二次方程式の根の求め方とか・・・楽しみに

引き算を負の数を加えると考えることによって、計算が自在にできるようになる

alice_44 · Answer

(＋3)－(＋5) の ー は二項演算子(引算)、
(＋3)＋(－5) の ー は単項演算子(マイナス符号)で、
それぞれ別のものです。単に「ひっくり返し」た訳じゃない。
パッと見そう見えるように、記号が工夫してあるんですけどね。

単項演算子の ＋ は無意味なので、省略して、
3－5, 3＋(－5) と書きましょう。
3＋(－5) の ＋ は二項演算子(足算)です。

で、この二つがなぜ等しいのかと言うと、
3＋(－5) のことを 3－5 と書く…てのが、引算の定義だからです。
引算は、好き勝手に定義された演算ではなく、
こうして足算から派生したものなんですよ。

マイナス符号の方も、a＋x = 0 となる x を ーa と書く
…というように、足算から派生します。

asuncion · Answer

a = (+3) - (+5)とおく。
両辺に同じ数-5を加えても等号は成り立つ。
a + (-5) = (+3) - (+5) + (-5)
右辺において、加法と減法に関する交換法則により、
演算の順序を入れ替えても等号は成り立つ。
a + (-5) = (+3) + (-5) - (+5)
両辺に同じ数+5を加えても等号は成り立つ。
a + (-5) + (+5) = (+3) + (-5) - (+5) + (+5)
左辺において、-5と+5とは加法における逆元の関係にあるので、
つまるところ+ (-5) + (+5)の部分は何もしていないのと同じことである。
また、右辺において、- (+5) + (+5)の部分は
同じ数を引いて足しているので、つまるところ何もしていないのと同じことである。
何もしていないということは書かなくても同じということである。
よって、a = (+3) + (-5)

正しい論法であるかどうかは、後世の評価を待ちます。

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