ラジアンの求め方 弧度法

弧の長さは中心角に比例するのはイメージがつきます

円周は2πrなので 一周の中心角360°は2πradとなる とあります

１radを57，3として計算すれば360になるのはわかりますが、

360＝2πradとなることがわかりません。

宜しくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： tentolan 回答日時： 2013/05/27 18:39

360°の中に 1rad がいくつあるのでしょうか

こんばんは、


360°の中に 1rad がいくつあるのかが分かればよいのですね。


半径 r の円を考えたとき、

円周の長さは、
2πr ですね。

そして、
1rad の円弧の長さは、
r ですね。

円周の長さの中に 1rad 分の長さの円弧がいくつあるのかが分かれば、

360°の中に 1rad がいくつあるのかが分かりますね。


以上から、
1rad の個数(n) = 2πr / r

故に、
n = 2π

となります。

よって、
360°= 1rad x 2π

となります。


グラフ用紙に円を描いて、
57.3°毎に円周に印をつけると、
印が６個ついて少し余っているはずです。

印１個が半径１個分ですから、
6.xx個の半径が必要ってことが分かります。

2πは、およそ 2 x 3.14 = 6.28
ですので、

式からも図からも計算値からも確かめられると思います。


頑張ってください！

この回答へのお礼

みなさまほんとうにありがとうございました。こんなに理にかなっていたとは！
感激です！

お礼日時：2013/05/28 00:24

No.4 回答者： Quarks 回答日時： 2013/05/27 16:51

>１[rad]を５７.３[°]とすれば…

と書かれていますが、この５７.３という数字はどんな数字なのか、考えてみましたか？
　
扇形の半径ｒと、その弧Ｌとが、たまたま
　ｒ＝Ｌ
の関係を満たしているとしたら、中心角θは何°でしょうか？
簡単な比例計算で求まりますね。
もし円という特殊な扇形を考えると
　Ｌ＝２π・ｒ　なら　中心角は 360°
なのですから、半径が一定なら、弧の長さは中心角に比例していることを利用して…
　２πｒ：360°＝ｒ：θ[°]
この比例式を解くと
　θ＝360/(2π)
　≒360/(２・３.１４)
　＝５７.３２…
これが、５７.３の「正体」です。近似値なのですね。精確な数値は
　３６０/(２・π)
です。この
　３６０/(２π)[°]を　１[rad]　と呼ぶことにしたのです。
　
ですから、１[rad]の２π倍、つまり２π[rad]は
　２π[rad]＝{３６０/(２π)}・２π＝３６０
なので、精確に
　２π[rad]＝３６０°
であることになります。
　
弧度法については、他の回答者さん達から説明がありましたので蛇足になってしまいますが…
中心角が等しい扇形では、その半径ｒと弧Lの比が皆等しいという性質があります。
たとえば、中心角が６０°の扇形では　半径がｒ　なら弧Ｌは
　L＝２πｒ・(６０/３６０)＝πｒ/３
なので、比Ｌ/ｒを計算すると
　Ｌ/ｒ＝(πｒ/３)/ｒ＝π/３
となり、<<ｒに依存しない>>「定数」になります。中心角が６０°の扇形のすべてについて成り立っています。中心角が違う扇形では、異なる定数になるだけで、やはり比は、「<<半径に無関係な>>定数」になります。
ということは、任意の扇形で、半径と弧の長さを知るだけで、中心角が確定してしまうことになるわけです。
このことを利用すると、中心角の大きさθを
　Ｌ/ｒ
に比例する数値で表すことができることに気が付きます。比例定数をｋとすると
　θ＝ｋ・(Ｌ/ｒ)
ですね。ｋの採り方に制限はありませんから、最も簡単な１としてしまっても何等問題はありません。こうすると
　θ＝Ｌ/ｒ　式（ア）
となります。この表し方で表した角度の単位を[rad]としたのです。
　
また式（ア）を変形すると
　Ｌ＝ｒ・θ
となりますから、ｒが一定値の場合、Ｌとθが比例することがわかります。
このことを、質問者さんは
>弧の長さは中心角に比例するのはイメージがつ（く）
と書いておられたわけです。確かに、両者はきちんと比例しています。

No.3 回答者： foomufoomu 回答日時： 2013/05/27 12:45

#2回答の通りですが、少し別の説明のしかたをしてみます。

＞弧の長さは中心角に比例するのはイメージがつきます
中心角θ∝孤の長さL　ということなので
θ×r=ａ×L　（ａは比例定数、ｒは半径）
になります。
で、最も簡単にするため、ａ=1と決めてしまえば
θ×r=L
∴　θ=L/r
これがラジアンの定義です。

一周の中心角（つまり、変な言い方ですが「円の中心角」）を求めようとすると
円の円周はL=2πr なので、中心角はθ=L/r=2π となります。
これが　360度＝2πラジアン　の理由です。

No.2 回答者： tentolan 回答日時： 2013/05/26 14:57

まさにラジアンの定義ですね

こんにちは、

半径と同じ長さの円弧を持つ扇形の中心角の角度を １ラジアン と定義しています。

この定義から、
中心角 θ 、半径 r の扇形の
円弧の長さ L は、
L = rθ
となりますね。

扇形を円とした場合、
円周の長さ L は、
L = 2πr = rθ
ですね。

よって、
θ = 2π
ですね。


頑張ってください！

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
扇形を円とするというのは１ラジアンの円周、つまり半径の長さと同じ円周の長さを持つ円といういみでしょうか？その円の円周を2πrとしてL = 2πr はわかるのですが、 rθのｒと2πrのｒは数字違いますよね？

補足日時：2013/05/26 17:22

No.1 回答者： ssp2548 回答日時： 2013/05/26 13:16

360[°] = 2π[rad] は、単位換算の定義をしているだけです。

熱量の
1[カロリー] = 4.184[J]
とか、距離の、
1[マイル] = 1.6[km]
と同じことです。