テイラー展開、公式

f(x) を x=a の周りでテイラー展開しなさい
といったら (x-a)、(x-a)＾2、 (x-a)＾3などで近似して、それぞれの係数はｎ回微分などで決まりますよね？

教科書の説明を読んでも、直線の式が実は一次近似になってる！（ｆ（ｘ）＝f`(a)(x-a)+f(a)？）それをじゃあ精度を上げて二次式で近似すると・・・？などの説明が続き、いきなりp（x-a）^2の項がたされ、両辺微分してpをだしていますが・・・

そもそもなぜこういう形に置けるのか、二次式で近似と言われなぜｐ（x-a）^2などがいきなり出てくるのか直観的な部分が理解できません。

（x-a）はとても微小な数なので、二乗、三乗としていくと小さくなっていき、誤差が埋まっていくイメージがなんとなーくあるのですが・・・。

どなたか教えてください。お願い致します。

No.3 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/06/24 19:18

　関数解析の立場で言えば、多項式展開は基底関数に多項式を選んだだけで、取り立ててテーラー級数を特別視するのはバランスが悪い訳ですが、テーラー展開は微分の結果と具体的に関連し、多くの数値計算（有限要素法など）も多項式展開できる事が前提になっているので、個人的にはテーラー展開のイメージを持ってても悪くはない、と思っています。

　コンピューターが今ほど自由でなかった頃、手計算用に後退差分の公式というのが、工学系ではずいぶん利用されていたと思います。もちろん大元は数学にありますが、工学では是が非でも計算可能な式を作って、計算結果を出せ！という暗黙の基本ノルマがあるからです（嘘でもいいから！、というと言い過ぎになりますけど・・・(^^；)）。

　後退差分の公式は、|h|が十分小さい時、

　　f(a＋nh)＝ΣnCk・f^k(a)・h^k　　　(1)

というものです。

　(1)において和Σは、kについてk＝0～nの範囲で取ります。f^k(a)は、fのk階導関数のaでの値です。h^kはそのままhのk乗で、nCkは、n個からk個を取り出す組合せ（コンビネーション）の数です。さらに＝は本当は、～（概ね等しい）でなければなりません。|h|が十分小さければ、関数f(a＋nh)の値は、工学的には(1)で計算しましょうよ（誤差はきっと小さいよ）という式です。

　すでにかなりいい加減ですが(^^；)、昔は(1)を臆面もなく使ったりしてました。(1)の導出過程は以下となりますが、「全ての都合良い条件が成り立っている」という但し書きが付きます。従って以下は、全く証明ではなく、説明です。


　　f(a＋h)＝f(a)＋f’(a)・h＋ε　　　(2)

において、h→0をとった時、|h|よりも十分早く|ε|が0に近づくならば、微分可能と言う。これはいくつかある微分可能の定義の一つです。(2)においてεを省略するなら、f(a＋h)～f(a)＋f’(a)・h　と書くべきですが、これをf(a＋h)＝f(a)＋f’(a)・h　と書きたい訳です。

　理由は、十分小さな|h|～0に対してすら、|ε|は問題にならんくらい小さいのだから、f(a＋h)＝f(a)＋f’(a)・h　で良いじゃない、といういい加減さです(^^；)。でもこの方が、微分の意味は良くわかります。要するに微分可能な関数は、一点（x＝a）のまわり（近傍）で、傾きがf’(a)の一次関数（直線）で十分良く近似できるんですよ。一次関数だったら計算できますよね？。

　この時、|h|～0は十分小さくなければなりません。そうすると、

　　f(a＋h)＝f(a)＋f’(a)・h　　　(3)

で予想されるf(a＋h)は本当に、x＝aの近傍に制限されます。しかしこれでは、余り使い手がありません。実際には、もっと遠くのx＝a＋hを予想したいんです。

　それで次に、予想距離を2倍の2hにする事を試みます。(3)より、

　　f(a＋2h)＝f(a＋h)＋f’(a＋h)・h　　　(4)

ですよね？。ところが(4)の右辺一項目f(a＋h)には(3)が成り立ちます。二項目のf’(a＋h)にも、(3)は適用できると考えます。だってf(x)は任意の関数なんだから！・・・(^^；)。
※ここで、f(x)は2階微分可能であった、という都合の良い仮定が追加されます。

　以上を認めると、

　　f(a＋2h)＝f(a)＋2・f’(a)・h＋f”(a)・h^2　　　(5)

になります。同様な事の繰り返しで、f(a＋3h)では、

　　f(a＋3h)＝f(a)＋3・f’(a)・h＋3・f”(a)・h^2＋f^3(a)・h^3　　　(6)

です。(1)は、(4)，(5)，(6)の流れに従って、まさに帰納法で証明できます。


　(1)を認めます。(4)，(5)，(6)の流れを了解した後、図（グラフ）を書くとすぐわかりますが、(1)は、幅nhの区間[a，a＋nh]上で関数f(x)を折れ線近似した式です（正確にはニアニアです）。区間幅をz＝nhとします。

　そして区間分割数nが無限に大きく、折れ線近似の分割幅h＝z/nが0に近づいた時にはどうなるか？と、図（グラフ）を見ながら想像する訳です。折れ線近似は、f(x)に収束するはずだぁ～！(^^；)。

　だったら(1)のhにh＝z/nを代入してn→∞の極限をとった時、(1)の右辺にはどんな表現が現れるんだ？、と期待するのには意味がある。何故なら(1)の右辺は多項式だから。多項式なら計算可能だ。もしかすると、任意の関数は、多項式で計算可能なんじゃないの？、という夢が拡がる・・・(^^；)。

　やってみるとテーラー級数、

　　f(a＋z)＝f(a)＋f^1(a)・z＋1/2！・f^2(a)・z^2＋1/3！・f^3(a)・z^3＋・・・　　　(7)

が出て来る。(7)でa＋z＝xとおくと、z＝x－aなので、普通のテーラー級数の形になります。(7)を導くためには、(1)が(7)と同じ形になるように、再び都合の良い仮定を2つばかり持ちこむ必要がありますが、それがどんな仮定かはやってみればわかり、それらが数学的には、ほとんど許されない「都合」である事もわかります。

　しかしそれでも結果は予想できる。ただし、その結果は正当化しなければならない。その点については#1さんに従って欲しい。そして#1さんに従えば正当化できるので、結局テーラー展開は、折れ線近似の極限に相当する表現だとは、言えると思う。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/06/24 12:08

えぇと.... 「二次式で近似」するなら, 結果は当然 2次式. で「x=a の周り」なんだから ｐ（x-a）^2 が出てこないと困りませんか?

それとも, ほかの何かを入れるつもりなのでしょうか?

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/24 00:46

イメージしても、しかたがない。

「テイラーの定理」について、成書で読め。
それが、多項式近似が存在する根拠になる。
あと、定数関数 0 へ収束する巾級数が
各項 0 のものしかない ことと合わせると、
巾級数展開の一意性が言える。