数3 複素数平面

異なる３つの複素数α、β、γに対して、
等式

γ＝(3-√3i)α/2-(1-√3i)β/2

が成り立つ時、複素数平面上で3点A(α)、B(β)、C(γ)を頂点とする△ABCの3つの角の大きさを求めよ。

No.8 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/04 07:38

No.2です。

γ=(3-√3i)α/2-(1-√3i)β/2 より
(γ-α)/(β-α)
={(1-√3i)α/2-(1-√3i)β/2 }/(β-α)
=(-1+√3i)/2=e^(i2π/3)
∠A=2π/3[rad]=120°
(AC:AB=1:1)

(α-β)/(γ-β)=(α-β)/{(3-√3i)α/2-(3-√3i)β/2}
=2/(3-√3i)=2(3+√3i)/12=√3(√3+i)/6
=(1/√3)e^(iπ/6)
∠B=π/6[rad]=30°
(AB:BC=1:√3)

(β-γ)/(α-γ)
={-(3-√3i)α/2+(3-√3i)β/2}/{(-1+√3i)α/2+(1-√3i)β/2}
={(-3+√3i)α+(3-√3i)β}/{(-1+√3i)α+(1-√3i)β}
=(-3+√3i)/(-1+√3i) ←(α-β)で約分
=(-3+√3i)(-1-√3i)/4 ←分母の有理化
=(3+√3i)/2
=√3(√3+i)/2=√3*e^(iπ/6)
∠C=π/6[rad]=30°
(BC:AC=√3:1)

以上から
△ABCの頂角は∠A=120°,∠B=∠C=30°
(辺の比はAB:BC:AC=1:√3:1)

No.7 回答者： berokanda 回答日時： 2013/08/04 06:56

＞(γ-α)/(β-α)に変形するには普通のやり方ではできない

＞のでその方法を教えていただきたいです。

なにか勘違いされているようにみえます。
「(γ-α)/(β-α)に変形する」
わけではないですよ。

(γ-α)/(β-α)の偏角を計算すれば辺ACと辺ABのなす角
がわかるのです。

β-α、γ-α、(γ-α)/(β-α)の大きさをそれぞれp、q、r
β-α、γ-α、(γ-α)/(β-α)の偏角をそれぞれθ、φ、ψ

とすると、

β-α=pe^(iθ)
γ-α=qe^(iφ)
(γ-α)/(β-α)=re^(iψ)

であって、

r=q/p
辺ACと辺ABのなす角=ψ=φ-θ

となります。

最後の2つの式は、複素数を極形式で表すと、
複素数同士の積は大きさの積と偏角の和に対応し、
複素数同士の商は大きさの商と偏角の差に対応する
ことを言っています。

No.6 回答者： berokanda 回答日時： 2013/08/03 17:47

＞(γ-α)/(β-α)に変形する最初から全然わからないです。

もしかすると模範解答か何かが手元にあって、
(γ-α)/(β-α)を計算しろと書いてあるがそれをなぜ計算
するのかわからないということですか？

複素数の割り算というのは大きさを無視すると偏角の引き算
を計算することと同じです。

(γ-α)/(β-α)の偏角はγ-αの偏角からβ-αの偏角を
引いたものになるので、γ-αとβ-αとがなす角（ただし符号
付き）を表しています。

同様に(α-β)/(γ-β)や(β-γ)/(α-γ)も計算してみてくだ
さい。

この回答への補足

教科書の問題なのですが例題ではこのようなやり方でしたのでできればそのほうが理解しやすいです。


(γ-α)/(β-α)に変形するには普通のやり方ではできないのでその方法を教えていただきたいです。

補足日時：2013/08/03 23:24

No.5 回答者： berokanda 回答日時： 2013/08/03 17:19

γ-α

=(3-√3i)α/2-(1-√3i)β/2-α　←γの定義
=(1-√3i)α/2-(1-√3i)β/2　←αの係数をまとめた
=(β-α)(-1+√3i)/2　←共通因数でくくった

No.4 回答者： berokanda 回答日時： 2013/08/03 16:09

＞γ-α/β-α=

(γ-α)/(β-α)ですか？

これを計算するとe^(2πi/3)になります。
そのやり方でも大丈夫ですよ。
どこで「変形できなかった」のでしょう？

この回答への補足

(γ-α)/(β-α)に変形する最初から全然わからないです。

よろしければ過程をお願いします。

補足日時：2013/08/03 16:55

No.3 回答者： berokanda 回答日時： 2013/08/02 11:40

#1の訂正。

＞z(w~)=|z||w|cosθ

↓

Re{z(w~)}=|z||w|cosθ

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/02 08:07

α=a1+a2*i,β=b1+b2*i とおいて

三辺AB=|α-β|,BC=|γ-β|,AC=|γ-α|の連比を求めてみてください。
二等辺三角形の辺の連比　AB:AC:BC=1:1:√3　が出てきます。

辺の比が分かれば、余弦定理から△ABCの各頂角が求まるでしょう。

あとは自分でやってみて下さい。

分からなければ、途中計算を補足に書いて、行き詰まっている箇所を質問してください。

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/08/01 23:37

z,w≠0のとき、wの共役をw~、zとwのなす角をθとすると

z(w~)=|z||w|cosθ
となることを使うのが素直でしょう。

丸投げ質問なので結果は書きませんが3つの角のうち
1つが鈍角になるような二等辺三角形になります。

自力でやってみて、わからなくなったら補足に書いてください。

この回答への補足

γ-α/β-α=

このように変形して求めようと思ったのですが変形できなかったので質問させていただきました。

この方法はこの問題には使えないでしょうか？

補足日時：2013/08/02 20:17