線形代数の問題ですが、解答・解説が無いため困っています。
f(x,y,z)=3x^2+3y^2+2z^2-2xz-4yz-2z
1)この関数をf(x,y,z)=(x y z)A(x y z)'+b(x y z)'+c
とした時のA,b,cを求めよ。(Aは対称行列、bは行ベクトル、cはスカラー、(x y z)'は列ベクトル)
2)行列Aの行列式の値と固有値を求めよ。
3)関数fの極値点とその時の関数の値を求めよ。また、その極値点が最小点、最大点、鞍点のいずれになるかを書け。
4)f(x,y,z)=27となる曲面と直線(x-1)/2=(y+1)/1=(z-3)/1との交点を求めなさい。
1),2)は自信がないですが答えが出たのであっているでしょうか?
1)はAをa,b,c,dの4つの文字で表し、Aは
3 0 -1
0 3 -2
-1 -2 3
b=(0 0 -z-2)'
c=0
2)は行列式が-6、固有値が3,3±√5
3)以降はよくわからないので詳しい方解答・解説をおねがいします。
No.3
- 回答日時:
No.2です。
ANo.2の補足の質問
>A=
>[a,b,c]
>[b,e,d]
>[c,d,f]
>とやればよいのでしょうか?
これならOKですよ。
[x,y,z]*
[a,b,c][x]
[b,e,d][y]
[c,d,f][z]
=ax^2+2bxy+2cxz+ey^2+2dyz+fz^2
対称行列Aの要素と多項式の二次の係数の関係を良く見比べてください。
xy,yz,xzの係数は1/2倍して行列Aの要素aij(i≠j)の要素となります。
x^2,y^2,z^2の係数a,e,fは行列Aの要素aij(i=j=1,2,3)の要素となります。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
1)
A,bとも間違い。
c=0は合っている。
A=
[3,0,-1]
[0,3,-2]
[-1,-2,2]
b=[0,0,-2]
2)
>行列式が-6、固有値が3,3±√5
1)の正しいAを用いてないので
det(A)も固有値も間違い。
1)の正しいAを使って計算をやり直して見てください。
計算すると
det(A)=3, 固有値=3,(5±√21)/2
となります。
3)
停留点(極値点)は
f_x=f_y=f_z=0を解けば求まります。
f_x=6x-2z=0
f_y=6y-4z=0
f_z=4z-4y-2x-2=0
連立方程式を解いて
(x,y,z)=(1,2,3)
停留点(1,2,3)でのfの値はf(1,2,3)=-3
これが極小点(最小点)となることは参考URLのヘッセ行列を使う判定条件で調べることができます。
f(x,y,z)のヘッセ行列を求めると
H(f)=
[6,0,-2]
[0,6,-4]
[-2,-4,4]
これは対称行列で
det(H)=24≠0(非縮退)
H(f)の固有値tを求めるとt=6,5+√21,5-√21で全て正定値
したがって停留点(x,y,z)においても
H(f)は正定値対称行列であるからf(x,y,z)は(x,y,z)=(1,2,3)で
極小値f(1,2,3)=-3をとります。f(x,y,z)は極小点を1つしか持たず極大点を持たない連続関数なのでf(1,2,3)=-3が最小値となります。
つまり極値点(1,2,3)は最小点となります。
4)
(x-1)/2=(y+1)/1=(z-3)/1=tと置くと
x=2t+1,y=t-1,z=t+3 ...(※)
これを
f(x,y,z)=3x^2+3y^2+2z^2-2xz-4yz-2z=27
に代入してtを求める。
9t^2-6t+24=27
∴t=1,-1/3
(※)にt=1,-1/3を代入すれば、2つの交点の座標
(3,0,4),(1/3,-4/3,8/3)
が求まる。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/ヘッセ行列
ありがとうございます。
非常にわかりやすかったです。
ですがAの導出方法がまだよくわかりません。
解答を拝見すると、対称行列の設定を
A=
[a,b,c]
[b,a,d]
[c,d,a]
とやったのがまずかったようですが、
A=
[a,b,c]
[b,e,d]
[c,d,f]
とやればよいのでしょうか?
No.1
- 回答日時:
1) b がなぜそうなるんでしょうか? z はどこから?
2) 行列式と固有値の関係を考えれば「何かがおかしい」ことには気付くはず.
3) 「よくわからない」ってことはだいたいわかってるってことだね. どこまでわかってどこで困ってる?
4) 実はこれは「線形代数」とは直接関係ない (と考えることができる). ただ 2次方程式を解けばいい.
ありがとうございます。
3)についてはヘッセ行列を使いそうだなというところまでしかわかりませんでした。
次からはもう少し具体的に書くことにします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 数学 2*2の行列に対して固有値の最大実部を与えるkの値を求めたい 3 2022/11/08 16:26
- 数学 数2Bの数列の問題です。 自分は、 まず数列 an=ar^(n-1)と置き こちらの問題の、y= の 1 2022/07/07 16:26
- 数学 線形代数の対称行列についての問題がわからないです。 2 2023/01/08 14:59
- 数学 数学の線形代数についての質問です。 0 1 0 0 0 1 1 0 0 の3×3の行列をAとする時、 1 2023/07/09 01:28
- 数学 条件付き極値問題といわれる問題です。ラグランジュの乗数法 について、質問したいことがあります。 条件 3 2023/05/15 21:38
- 数学 連立微分方程式の解き方について 7 2022/12/16 13:39
- 数学 線形代数の問題がわかりません。 3 2022/07/08 17:07
- 数学 線形代数の正規直行系についての問題がわからないです。 1 2022/07/16 11:20
- 数学 数学の問題の解き方を教えてください! 3 2022/11/02 17:32
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
3x3行列の固有値の求め方
-
固有値の値について
-
3×3行列の固有値重解時の対角...
-
線形数学です これを対角化せよ...
-
行列の2分の1乗の計算の仕方
-
固有ベクトルが複数の場合
-
4次正方行列の固有値,固有ベ...
-
A・B=B・AならばAの固有...
-
2変数関数の鞍点の判定について
-
A を対称行列とする.2 次形式t...
-
A^3= E の問題。
-
行列の積の固有値
-
正則でない行列の固有値・固有...
-
行列の固有値
-
固有値が複素数のときの固有ベ...
-
固有ベクトル
-
固有値を全く持たない演算子(o...
-
数学の関数極限の問題を教えて...
-
パソコンで行列はどう書けばいい?
-
ほかの解法を考えてみてください。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報