中３数学の問題です。教えてください。

２ケタの自然数がある。この数を５で割ると１余り、十の位と一の位を入れ替えた数字から
もとの数を引くと３６になる。
このときのもとの自然数を求めなさい。

「・・・で割ると」
という問題が初めてでわかりません。
どなたか解説できる方、おしえてください。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/11/20 11:25

もとの数をＡとしましょう。

すると「Ａを５で割ると１余る」というのですから、Ａは５の倍数より１大きい、ということがわかります。５の倍数なら１の位は０か５ですから、これより１大きいということは、Ａの一の位は１か６ですね。

次にＡは２けたの自然数だということなので、その十の位の数をＸ、一の位の数をｙとしましょう。するとＡは10Ｘ＋ｙです。
そしてＡの十の位と一の位を入れ替えた数をＢとすると、Ｂは十の位がｙで一の位がＸですから、ＢはＸ＋10ｙですね。
ＢからＡを引くと答えが36になる、というのですから、Ｘ＋10ｙから10Ｘ＋ｙを引くと36、つまり－９Ｘ＋９ｙが３６ですね。
両辺を９で割れば－Ｘ＋ｙ＝４です。
ここで「Ａの一の位は１か６」を思い出しましょう。つまりｙは１か６です。でもｙが１だとするとＸは（－３）になってしまいますね。これはあり得ません。一方、ｙが６ならＸは２ですね。これでＸは２、ｙは６だということがわかりました。Ａは２６ですね。

確かめてみると、２６は５で割ると１余るし、62から26を引くと36になるので、これで大丈夫そうですね。

以上ですがいかがでしょうか。わかりにくいところや間違えているところがありましたら補足をつけて下さいね。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。
参考にしてしっかり勉強させてもらいます。

お礼日時：2013/11/20 21:19

No.4 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/11/20 11:35

＞「・・・で割ると」という問題が初めてで

　それはないでしょう。「11を5で割ると1あまり・・」は小学校から何度も聞いている。

「このときのもとの自然数を求めなさい。」が求める数。「もとの数」のこと。
「２ケタの自然数がある。」
　　自然数とは(0),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11・・・99,100,101,・・・
　ですよね。二桁ですから、その自然数は
[10x + y] (ただし、x,yは0から9の自然数)
　とあらわせますよね。★ここが唯一のポイントですよ。
「この数を５で割ると１余り」
(10x + y)/5 = 5n+1
「十の位と一の位を入れ替えた数字からもとの数を引くと３６になる。」
(10y + x)-(10x + y) = 36
というふたつの連立方程式ができる。

「ひらめき」も何も必要ない・・ひたすら式を解いてx=とy=を出せば良いです。
すべて書くと・・
(10x + y)/5 = 5n+1
(10y + x)-(10x + y) = 36

(10x + y) = 5(5n+1)
(10y + x)-(10x + y) = 36

10x + y = 25n+5
10y + x - 10x - y = 36

10x + y = 25n+5
x - 10x + 10y - y = 36

10x + y = 25n+5
(1-10)x + (10-1)y = 36

10x + y = 25n+5
-9x + 9y = 36

10x + y = 25n+5
-x + y = 4

10x + y = 25n+5
y = 4 + x (or) x = y -4　それぞれを代入すると

10x + 4 + x = 25n+5
10(y-4) + y = 25n+5　　　[25n+5]は同じなので　

10x + 4 + x = 10y -40 + y　というひとつの関係式ができる。

11x + 4 = 11y -40

x + 4/11 = y -40/11

x = y -40/11 - 4/11

x = y - 44/11

x = y - 4　　　2式の関係が分かる。(ただし、x,yは0から9の自然数)から・・

y = 9,8,7,6,5,4
x = 5,4,3,2,1,0
59,48,37,26,15,4 の何れかです。

ここで、「この数を５で割ると１余り」より26

分からなくても、ひたすら機械的に解いていけば、必ず答えは見えてくるはずです。ときどき、最初に決めたことを振り返ってみながら--そこにヒントがある。
　

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございました。
このような問題の条件に割り算が使われているのが
初めてでした・・・うまく説明できずに申し訳ありません。

根気強く取り組んでみます。
ありがとうございます。

お礼日時：2013/11/20 21:04

No.2 回答者： mshr1962 回答日時： 2013/11/20 11:12

十の位をａ、一の位をｂとして

求める自然数は　10a+b　となります。

条件をまとめると

b=1または6　※この数を５で割ると１余り
(10b+a)-(10a+b) = 36 ※十の位と一の位を入れ替えた数字からもとの数を引くと３６になる

(10b+a)-(10a+b) = 36
↓
9b-9a=36
↓
b-a=4
↓
a=b-4　⇒　a=6-4=2
↓
10a+b　⇒　10*2+6=26

この回答へのお礼

順序立てて説明してくださり、とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/11/20 21:22

No.1 回答者： yuukimainami 回答日時： 2013/11/20 11:04

元の2ケタの数をXYとした場合、

次の2つの式が立つ。

XY/5＝Zあまり1
YX-XY＝36

ここで重要となるのは、
2つ目の式の一桁目となる。

つまり、X-Y＝6であるか、
(X+10)-Y=6であるか。

（１）X-Y＝6
この場合、
Y＝0～3、X=6～9が考えられるが、
1つ目の式で成立するためには、
Yが1か6のみである。
よって、Y=1とX=7が考えられる。
しかし、2つ目の式において成立しない。
以上のことから、X-Y＝6は成立しない。

（2）(X+10)-Y=6

これは、XがYよりも小さい数であり、
十の位から1を借りてきた場合である。
この場合、X<Yであることを考慮すると、
Y=4～9、X＝0～5が考えられる。
（1）と同様に、
1つ目の式で成立するためには、
Yが1か6のみであることから、
Y=6、X=2であると考える。
2つ目の式にあてはめると、
62-26＝36と成立する。
また、1つ目の式にあてはめると、
26/5=5あまり1と成立する。

以上の結果、X=2 Y=6となり、元の２桁の数は、26である。

この回答へのお礼

順序立てて説明してくださり、わかりやすかったです。
しっかり勉強したいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/11/20 21:27