自然数の２乗の求め方を知りたい

こんにちは。

数字がある数の２乗になっている時、それが何の２乗なのかを求める方法はあるでしょうか？

例えば２５は５の２乗だというのはすぐに分かりますが、３６１は何の２乗か？と聞かれたら分からないと答えられません。

素因数分解という方法もありますが、３６１の場合は１９の２乗なのでそれ自体が既に素数です。

何かいい方法はないでしょうか？それとも丸暗記するしかないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.8 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/27 13:06

当たらずとも遠からずで推測していく姿勢というのは大事なことだと思います。

知っているか、知らないかだけでしか対応できないとすれば悲しいですね。
√の開き方の方法というのもありますがそれも暗記の対象になってしまいます。
この方法は頭から数字を求めていく方法です。逐次近似といいます。手順化されていますからどうしてそういう風にすれば√が求まるのかを説明できない人が多いだろうと思います。

３６１が例に挙げられています。
Ｘ＝√(３６１)とします。

(1)１０＜Ｘ＜２０であることは分かりますね。
　２乗すれば１００＜３６１＜４００です。３６１はかなり４００に近いですからＸは２０に近いはずです。
（Ｘ＝１９から順に見当を付けていけばたいした手間ではなくて求められます。）
　この段階でもしＸが整数であることが分かっているのでしたら１の位の数字は９と決まってしまいます。２乗して１の位が１になるのは９しかないからです。でもそういうことが分からなかったとします。

(2)　Ｘ＝１０＋ａ　（ａ＜１０）　とおきます。
ａはかなり９に近い値です。（こういう推測は計算間違いを防ぐためにも必要です）。

(3)２乗します。
　Ｘ^2＝(１０＋ａ)^2＝１００＋２０ａ＋ａ^2＝３６１
ａについての２次方程式ですから解くことができます。
でも根の式に入れると間違う可能性がありますね。大きい数字が出てくると因数分解を投げ出してしまいそうです。
違う方法をやってみます。
　ａ^2＋２０ａ＝２６１
ａ(ａ＋２０)＝２６１
左辺が１桁の数字ａと２桁の数字２０＋ａの積になっているのですから右辺にもそういう因数があるはずです。これに合う数字ａを探せばいいです。
・２６１は１桁の約数を持つということが示されているのですからかなり楽なはずです。
・２６１／２０＝１３．・・・
ａ＜１０のはずでしたからですからａ＝９、８、７、・・・と探す方がいいというのも分かります。


もっと大きな数字でやってみます。

Ｙ＝√(５４３２１)とします。
Ｙは整数ではないでしょう。近い整数を求めてみましょう。
３６１でやったのと同じ事をやります。大事なことは解法を知らないからといってお手上げになってしまわないということです。
(1)２００＜Ｙ＜３００が分かります。
　４００００＜Ｙ^2＝５４３２１＜９００００だからです。
　（＃５に２桁ずつ区切って考えると書いてあることに対応します。）
　Ｙ＝２００＋１０ｂ　　（ｂ＜１０）
とします。（１つずつ数字を決めていくためにｂ＜１０としています。）
(2)Ｙの二乗を考えます。
　４００００＋４０００ｂ＋１００ｂ^2＝５４３２１
　ｂ(ｂ＋４０)＝１４３．２１
　１４３．２１／４０＝３．７・・・ですからｂ＜４です。
　ｂ＝３とすると左辺＝１２９です。
　従ってｂ＝３＋０．１ｃ　（ｃ＜１０）です。

　ここまででＹ＝２３０＋ｃであるということが分かったということです。次に１の位はいくらになるかのあたりを付けてみます。

(3)ｂの値を入れます。
(３＋０．１ｃ)(４３＋０．１ｃ)＝１４３．２１
１２９＋４６×０．１ｃ＋０．０１ｃ^2＝１４３．２１
４６×０．１ｃ＋０．０１ｃ^2＝１４．２１
１００倍します。
ｃ(４６０＋ｃ)＝１４２１
１４２１／４６０＝３．・・・ですからｃ＜４です。ｃ＝３のとき左辺は３×４６３＝１３８６ですからｃ＞３です。
ｃ＝３＋０．１ｄ　（ｄ＜１０）となります。
これでＹ＝２３３．・・・と決まりました。
１４３２は１３８６にかなり近いですからｄは小さい数字です。
ｄについての式を同じようにして考えると少数第１位が決まります。

この手順をまとめたものが＃５にある方法です。
意味が分からずに手順だけを覚えるのと手順の意味が分かっているのとでは応用に違いが出てくるだろうと思います。




　

No.7 回答者： staratras 回答日時： 2009/01/27 08:40

私も中学校で開平法（筆算での平方根の求め方）を教えられた世代です。

これは何かと使えるので覚えておいて損はないと思います。少なくとも試行錯誤で２乗を計算して範囲を狭めていくよりはずっと早いです。一度覚えていれば長く忘れないもので、私は４０年経った今でも覚えていますし、開平の計算をするたびに、丁寧に教えてくださった数学の先生の顔も思い出します。

No.6 回答者： taparon 回答日時： 2009/01/26 19:46

電卓や電卓ソフトで平方根を計算してみて、それに近い整数を２乗してみて検算、という方法もありますね。

残念ながら、テストでは使えませんけど<(__)>。

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2009/01/26 18:02

　丸暗記するなら、平方根の計算方法を覚えておいたほうが良いです。

　小数点を基準に二桁ずつ区切って計算する。
　左に、足し算、ルートの式のほうに左の掛け合わせたものを書いて、割り算同様引く。慣れればよいだけ。
　この二桁ずつ平方根の筆算は、私は中学校で習いましたよ。とはいっても４０年前・・今は習わないのかな・・

　平方できると分かっている場合は、他の方が説明されているように理屈から求めることも選択肢としてありですが、筆算とまったく同じことをしているだけ。まあ、筆算なら覚えなくても機械的に出来るし、整数の平方根がない場合も計算できますから楽で、時間的にも早いかも・・・
　試しに、近いところで、383を筆算で計算した結果を上げておきます。

No.4 回答者： chie65535 回答日時： 2009/01/26 17:36

追記。

＞まず
＞１×１＝１
＞２×２＝４
（中略）
＞８×８＝６４
＞９×９＝８１
＞だけ覚えます。

０×０＝０がありませんね。どうして無いのでしょうか。

それは「要らない」からです。

１の位が「０」になっている２桁の数を２乗すると、必ず
１０×１０＝１００
２０×２０＝４００
３０×３０＝９００
４０×４０＝１６００
のようになり、２乗した数は「必ず１００の倍数」になります。

２乗した数の１の位が０で、１０の位が０でないなら「１００の倍数じゃない」ので「ある整数を２乗した数ではない」ので、確かめる必要はないです。

なので「要らない」のです。

No.3 回答者： chie65535 回答日時： 2009/01/26 17:24

＞数字がある数の２乗になっている時、それが何の２乗なのかを求める方法はあるでしょうか？

意外と簡単です。

まず
１×１＝１
２×２＝４
３×３＝９
４×４＝１６
５×５＝２５
６×６＝３６
７×７＝４９
８×８＝６４
９×９＝８１
だけ覚えます。

上記の「１桁の数字を２乗した数」の「１の位」に注目します。

ここには「１、４、５、６、９」しかありません。

「１の位が１、４、５、６、９でなければ、整数を２乗した数ではない」ので、その場合は、もう計算する必要がありません。

次に「１の位」を見れば
１なら、２乗する前の数の１の位は、１か９
４なら、２乗する前の数の１の位は、２か８
９なら、２乗する前の数の１の位は、３か７
６なら、２乗する前の数の１の位は、４か６
５なら、２乗する前の数の１の位は、５
だと判ります。

「２桁の数の２乗かどうか」は、以下のように調べます。

まず１０の位を知る為に「２乗した後の数の範囲」を見ます。

１０の位が０（１桁の２乗）なら、２乗した結果は１００未満
１０の位が１なら、２乗した結果は１００以上４００未満
１０の位が２なら、２乗した結果は４００以上９００未満
１０の位が３なら、２乗した結果は９００以上１６００未満
１０の位が４なら、２乗した結果は１６００以上２５００未満
１０の位が５なら、２乗した結果は２５００以上３６００未満
１０の位が６なら、２乗した結果は３６００以上４９００未満
１０の位が７なら、２乗した結果は４９００以上６４００未満
１０の位が８なら、２乗した結果は６４００以上８１００未満
１０の位が９なら、２乗した結果は８１００以上１００００未満

３６１の場合「２乗した結果が１００以上４００未満」なので、１０の位は１の筈です。

ここで、１●×１●＝３６１、と判ります。

なお、上記の「２乗した後の数の範囲」に出て来る数は
１×１の１００倍＝１００
２×２の１００倍＝４００
３×３の１００倍＝９００
４×４の１００倍＝１６００
５×５の１００倍＝２５００
６×６の１００倍＝３６００
７×７の１００倍＝４９００
８×８の１００倍＝６４００
９×９の１００倍＝８１００
ですから、覚える必要はありません。「１、４、９、１６、２５……６４、８１」だけ覚えていれば済みます。

次は１の位。

「１の位が１なら、２乗する前の数の１の位は、１か９」ですから「●に入るのは１か９」です。

すると「１１×１１」か「１９×１９」のどちらかです。

１１×１１だとすると１０×１０（つまり１００）に近い筈です。１９×１９だとすると２０×２０（つまり４００）に近い筈です。

そこで、３６１が１００と４００のどっちに近いか見ます。

４００に近いので「１９×１９」と予想します。

で、実際に「１９×１９」を計算し、３６１になるか調べます。３６１になれば「１９が正解」と判ります。

同じ事を１３６９でやってみて下さい。

１の位が９なので、元の数は「●３」か「●７」です。

２乗したのが９００以上１６００未満なので「３●」です。

なので、可能性があるのは「３３」か「３７」です。

１３６９は９００より１６００の方が近いので「３７」と予想します。

３７×３７を計算し、１３６９になるか確かめます。

「３桁の数の２乗かどうか」は、上記の応用で「割り算して、近い数を求める」で調べる事が出来ます。

例えば、７４６４９６の場合。

１０００×１０００＝１００００００ですから「１００００００＞７４６４９６」を調べ「元は３桁」だと確認します。１００００００を超えた場合は４桁の２乗ですから、そこだけ確認しておきます。

次に、７４６４９６を１００で割って７４６４．９６にします。すると、元の数は１０分の１になり「●●●」から「●●．●」になります。

そして「１０の位が８なら、２乗した結果は６４００以上８１００未満」から、元の数は「８●．●」です。

元の数を１０倍すれば元に戻りますから、元の数は「８●●」と予想出来ます。

次に、７４６４９６の１の位は「６」ですから、元の数の１の位は「４か６」です。すると「８●４」か「８●６」になります。

次に、７４６４９６を８００で割ってみます。９３３．１２になります。

８００と９３３．１２の平均を取ります。８６６近くになります。

更に７４６４９６を８６６で割ってみます。８６２近くになります。

すると「７４６４９６≒８６６×８６２」と判ります。つまり「１０の位は６前後」だと判ります。

すると「８６４」か「８６６」になります。

２つ前の手順で、７４６４９６を８６６で割ったら８６２近くになって割り切れなかったので「８６６ではない」のは判っています。

残りは「８６４」だけです。

後は、８６４×８６４を計算して７４６４９６か確かめれば終わりです。

このように「可能性を絞り込む」と、割り算のみで簡単に確認出来ます。

No.2 回答者： pochy1 回答日時： 2009/01/26 16:39

受験では16までの２乗は頭に入っていましたが、それ以上覚えても仕方ありません。

「○○はある数の２乗です」という問題なら、２ケタの数の２乗くらいなら、十の位はすぐわかります。
一の位は「２乗後の数の一の位→２乗前の数の一の位」の関係は以下の通りなので多くても２つに絞れます。
０→０
１→１か９
４→２か８
５→５
６→４か６
９→３か７

例えば「３６１は何の２乗か」という問題なら、１０＾２＝１００、２０＾２＝４００より、十の位は１（10から20の間）。
次は一の位。２乗して一の位が１になるのは１か９なので、候補は２つ。３６１は４００に近いので、大きい方から計算してみるといいでしょう。

No.1 回答者： nattocurry 回答日時： 2009/01/26 15:51

ありますよ。

説明すると長くなるし、詳しく説明してあるサイトがあるので、そちらを参考にすると良いです。

平方根 筆算
をキーワードにしてネット検索をすれば、いろいろ見つかりますよ。