数学の順列に関する質問です。

3桁の整数のうち、5で割ると2余り、7で割ると3余る数は全部でいくつあるか

という問題で答えは、26個ですか？

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2020/08/30 21:15

NO4 です。

すみません、誤記入がありましたので、訂正します。
下から 3行目と4行目。
【誤】1の位が 2 のときは、7m の 1の位は 9 で a を1桁の自然数として m=10a+7 となります。
　　　1の位が 7 のときは、7m の 1の位は 4 で b を1桁の自然数として m=10b+4 となります。

【正】1の位が 2 のときは、7m の 1の位は 9 で a を自然数として m=10a+7 となります。
　　　1の位が 7 のときは、7m の 1の位は 4 で b を自然数として m=10b+4 となります。
※ a, b 共に 1～13 ですから。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/08/30 20:56

3桁の整数は 100~999 の 900個。

「5で割ると2余る数」n を自然数として 5n+2 と書き表せます。
n が 偶数の時は 5n の 1の位は 0 ですから 5n+2 の 1の位は 2。
n が 奇数の時は 5ｎの 1の位は 5 ですから 5n+2 の 1の位は 7。

「7で割ると3余る数」m を自然数として 7m+3 と書き表せます。
1の位が 2 のときは、7m の 1の位は 9 で a を1桁の自然数として m=10a+7 となります。
1の位が 7 のときは、7m の 1の位は 4 で b を1桁の自然数として m=10b+4 となります。
つまり 100<7m+3<999 →　14≦m≦142 →　14≦10a+7≦142 →　1≦a≦13 で 13個。
又、14≦10b+4≦142 → 1≦b≦13 で 13個。合わせて 13+13=26 で 26個。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/30 11:42

基本公式：(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)　により

割られる数をNとすると、Nを5で割ると2余るなら
N=5Q1+2 （ただしQ1は５で割った場合の商）
Nを７で割ると３余るなら
N=7Q2+3（ただしQ２は７で割った場合の商）
ゆえに　5Q1+2=7Q2+3
⇔5Q1-7Q2=1…①
これを満たす自然数Q1、Q2の組の1つは
(Q1,Q2)=(3,2)
このとき5Q1-7Q2の差が１で、以降この差が変わらないようにするためには
5Q1、7Q2とも等しい量だけ増加させればよい
そのためには係数５と７をみて　Q1は７、Q2は5づつ増やせば5Q1、7Q2ともに35づつ増えるので差＝１は変わらないことになる
ゆえに　次に①を満たす組は　Q1を７増やし、Q2を５増やした時の
(Q1,Q2)=(10,7)
その次もおなじように増やして
(Q1,Q2)=(17,12),(24,17)・・・などがQ1,Q２の候補となる
このことから、Q2＝2+5m (mは0以上の整数）と表せる
したがって　N=7Q2+3=7(2+5m)+3
⇔N=35m+17
Nが3桁であるためには
100≦35m+17≦999
これを満たすmは　m=3,4,5、・・・28 の26個
ゆえに　条件に合う3桁のNも26個

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2020/08/30 09:17

3桁の整数をNとすると

N+18 = 5*7*q
と書ける
∴N = 5*7*q - 18
q=4,…,29
が題意を満たすから求める個数は26