
行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。
【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)
【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より
(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=0
|-1 2 1||X3|
∴{X2+X3=0
{-X1+2X2+X3=0
X3=kとおくと
X2=-k,X1=-k
∴固有ベクトル
|-1|
p1=k|-1|
| 1|
(ii)λ=2(重解)の時
|-1 2 2||X1|
| 0 0 1||X2|=0
|-1 2 0||X3|
∴{-X1+X2+X3=0
{X3=0
{-X1+2X2=0
X3=X1-X2
X1=s,X2=tとおくと
X3=s-t
∴固有ベクトル
| 1 | |0|
p2=s| 0 |+t|1|
|0.5| |1|より
直行行列
|-1 1 0|
P= |-1 0 1|
| 1 0.5 1|
とする。
また、
直交行列の逆行列
|-1 -2 2|
P-1= 1/5| 4 -2 2|
|-1 3 2|
これらを用いて計算すると
|1 -6 -4|
P-1AP= |0 14 36|
|0 1 26|
となり、途方にくれてしまいます。
|1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|になってくれません。
どこで間違いをおしているのでしょうか?
教えて下さい。
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