こんにちは.
ある時系列実験データ(f0[Hz]の周波数成分の振幅が周期的に変化する信号にノイズが含まれている)の包絡線を求めるために,hilbert変換を用いています.しかし,求めた信号をスペクトル解析するとf0[Hz]や1/2*f0[Hz],2*f0[Hz]などが含まれます.ヒルベルト変換によって,このような問題が生じるのでしょうか?
それとも,他に原因があるのでしょうか.

また,包絡線を求める良い方法がありましたらご紹介いただけないでしょうか.
よろしくお願いします.

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A 回答 (1件)

これはAMラジオの検波と同じことをやりたいんですね。


ヒルベルト変換てのは要するに局所的に重み付き平均を作るわけですから、余計な周波数成分だって出ますよね。
w=2πf0
とおくと、データは
p(t) = A(t) sin(wt+α) + noise(t)
です。このときA(t)の帯域とf0とがかなり違っているのでない限り、包絡線そのものが定義できないでしょう。だから、A(t)はf0よりうんと低い周波数であると考えていいと思います。さらにノイズが小さくて、また信号A(t)や搬送周波数f0とはかけ離れた周波数帯域にあるんなら、データp(t)に対してフーリエ変換をやって、包絡線A(t)の帯域以外をカットしてやれば良い。逆に言えば、A(t)の帯域だけを取り出すband path filterを構成して、それをp(t)に畳み込み積分すれば良い訳です。もっと手抜きをするなら、安いラジオと同様、|p(t)|をtについて適当に平滑化(f0が消える程度)してやれば概ね|A(t)|が得られます。

 欲しい結果の精度、データの帯域、ノイズのレベルによっては、処理の仕方を色々工夫しなくちゃダメでしょうね。

この回答への補足

stomachman先生,回答ありがとうございます.御礼の返事が遅れまして申し訳ありません(メールがきませんでした,言い訳じみてますが).
さて,さらに教えていただきたいのですが,人工的にパソコン上で作ったデータ(ノイズあり,無し)ではこのような成分は出ません.しかし,ファンクションジェネレータからの信号をAD変換してPCに取り込んだデータの場合,A(t)=constant.の場合でもf0Hzの成分が卓越します.これは,どのような影響が考えられますでしょうか.
余談ですが,実験で得ようとしているデータは位相遅れが生じると使えないので,フィルタは考えていません.時間変化をきれいに見せるために積算平均は使っていますが.
お忙しい中大変恐縮ですが,アドバイスの程よろしくお願い致します.

補足日時:2001/07/04 09:06
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Qリッジド・ヒルベルト空間の濃度は?

ヒルベルト空間は稠密で、濃度は、X0 と思います。
では、ヒルベルト空間より広い、リッジド・ヒルベルト空間の濃度は、X1 なのでしょうか?
広さと濃度は、関係ないのでしょうか?

Aベストアンサー

「基底の数」と「完備」とは関係ありません
「距離空間(X,d)においてその任意のコーシー列が収束するとき
(X,d)は完備という」ので

N=(全自然数)
Q=(全有理数)
R=(全実数)
とすると
{1}はRの基底で
Rの基底の数は1
したがって,dimR=1
Rは
Qのコーシー列の集合の同値類
(任意のコーシー列が収束するように完備化したもの)
として定義したので
ベクトル空間としての基底の数が1であるけれども
任意のコーシー列が収束するので完備となる.

自然数nに対して
R^nの基底の数はn
したがって,dimR=n
Rが完備だから
R^nも完備
R^Nの元,すなわち実数の無限列
x=(x_n)_{n∈N},y=(x_n)_{n∈N},と実数λに対して
x+y=(x_n+y_n)_{n∈N},λx=(λx_n)_{n∈N}
と定義すれば
R^Nは可算無限次元ベクトル空間で|R^N|=X1(非可算)だけれども
ノルムや距離を定義できないためヒルベルト空間とはならない
R^Nの元(x_n)_{n∈N}で,
級数Σ_{n∈N}(x_n)^2が収束する(Σ_{n∈N}(x_n)^2<+∞)ものを考え
H={(x_n)_{n∈N}∈R^N|Σ_{n∈N}(x_n)^2<+∞}
とすると
HはR^Nの(可算無限次元)部分ベクトル空間となる。
Hの元(x_n)_{n∈N}に対して
||x||=√Σ_{n∈N}(x_n)^2
と定めると||||はノルムとなる
Hの元x=(x_n)_{n∈N},y=(x_n)_{n∈N}に対して
d(x,y)=||x-y||
とするとdはLの距離となる
(x_n)_{n∈N}=((x_{n,k})_{k∈N})_{n∈N}
をHのコーシー列とすると
任意のm,n∈Nに対して
|x_{m,k}-x_{n,k}|≦||x_m-x_n||だから
(x_{n,k})_{n∈N}は実数のコーシー列だから
Rの完備性によりRの元
lim_{n→∞}x_{n,k}=a_k
が存在する
a=(a_k)_{k∈N}とすると
hを任意の自然数とすれば
∀ε>0に対して→∃n_0(∀m,n>n_0→||x_n-x_m||<ε/2)
Σ_{k=1~h}(x_{n,k}-x_{m,k})^2<ε^2/2
→∃n_k(∀m>n_k→|x_{m,k}-a_k|<ε/(2h))
(x_{m,k}-a_k)^2<ε^2/(4h^2)<ε^2/(2h)
Σ_{k=1~h}(x_{m,k}-a_k)^2<ε^2/2
Σ_{k=1~h}(x_{n,k}-a_k)^2
≦Σ_{k=1~h}(x_{n,k}-x_{m,k})^2+Σ_{k=1~h}(x_{m,k}-a_k)^2
≦ε^2/2+ε^2/2
Σ_{k=1~∞}(x_{n,k}-a_k)^2<ε^2
(a_k)^2=(x_{n,k}-(x_{n,k}-a_k))^2≦2{(x_{n,k})^2+(x_{n,k}-a_k)^2}
Σ_{k=1~∞}(a_k)^2≦2(||x_n||^2+ε^2)<+∞

a∈H
||x_n-a||<εだから
lim_{n→∞}x_n=a
∴Hは完備だからヒルベルト空間となる

R⊂R^n⊂H⊂R^N
となって|R|と|R^N|がX1(非可算)だから
|R|=|R^n|=|H|=|R^N|=X1(非可算)
となる

「基底の数」と「完備」とは関係ありません
「距離空間(X,d)においてその任意のコーシー列が収束するとき
(X,d)は完備という」ので

N=(全自然数)
Q=(全有理数)
R=(全実数)
とすると
{1}はRの基底で
Rの基底の数は1
したがって,dimR=1
Rは
Qのコーシー列の集合の同値類
(任意のコーシー列が収束するように完備化したもの)
として定義したので
ベクトル空間としての基底の数が1であるけれども
任意のコーシー列が収束するので完備となる.

自然数nに対して
R^nの基底の数はn
したがって,dimR=n
Rが完備だから
R^nも...続きを読む

QRe: f:[0,1]で連続関数,lim[n→∞]∫[0 to 1]f(x^n)dx=f(0)の証明での疑問

[問]fを[0,1]で連続な関数とする時,lim[n→∞]∫[0 to 1]f(x^n)dx=f(0)となる事を示せ。

という問題に取り組んでいます。

積分の平均値の定理「fが[a,b]で連続ならば∃c∈(a,b);∫[a~
b]f(x)dx=f(c)(b-a)」を使って下記のように解きました。

十分小さな正の数εでもって,[0,1-ε],[1-ε,1]に積分区間を分けると,
f(x^n)は連続なので,積分の平均値の定理から,
∫[0 to 1]f(x^n)dx
=∫[0 to 1-ε]f(x^n)dx+∫[1-εto 1]f(x^n)dx
=(1-ε)f(α^n)+εf(β^n) (0<α<1-ε<β<1)
→(1-ε)f(0)+εf(0)=f(0)

然し,βはεに依存するので1未満だからといってβ^n→0とはそう簡単には言えないみたいなのです。
私としましてはεに依存してようが1未満なので必ずβ^n→0と思うのですが、、、
どのように解釈したらいいでしょうか?

Aベストアンサー

お二人が問題点を指摘されていますので、証明だけです。

0<c<1を任意に与える。

|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx+∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx

∀ε>0;∃N:自然数
|f(x^n)-f(0)|<ε[n>N]から
∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx<(1-c)ε<ε

max[1-c≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|]
≦max[0≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|]
≦2max[0≦x≦1]|f(x)|=M

とおいて、

|∫[x=1-c,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx
=Mc

即ち
|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|<ε+Mc[n>N]
から
lim[n→∞]|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|≦Mc

左辺は、0<c<1の選び方に依存しないので、
lim[n→∞]|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|≦0

lim[n→∞]∫[x=0,1]f(x^n)=f(0)

お二人が問題点を指摘されていますので、証明だけです。

0<c<1を任意に与える。

|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx+∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx

∀ε>0;∃N:自然数
|f(x^n)-f(0)|<ε[n>N]から
∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx<(1-c)ε<ε

max[1-c≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|]
≦max[0≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|]
≦2max[0≦x≦1]|f(x)|=M

とおいて、

|∫[x=1-c,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx
=Mc

即ち
|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|<ε+Mc[n>N]
から
lim[n→∞]|∫[x=0,1...続きを読む

Qヒルベルトのドラゴン曲線。

ヒルベルトのドラゴン曲線の4相目の絵を描きなさい。
という課題が出ました。
ヒルベルトのドラゴン曲線が、
・4つ折にした紙を広げた形。なのか、
・ラーメンの丼に書かれていそうなコの字が合体したもの。なのか、
分からなくなってしまいました。
ヒルベルトのドラゴン曲線の4相目の絵がどのようなものになるのか教えてください。また、詳しいサイトなどありましたら教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

すみません。MAILをしばらくみなかったので・・・
随分、遅れてしまいました。

>>どちらの図を描けばいいのでしょうか。
*>>4相目 と書いてあるので、明らかに(ドラゴン曲線)です。
*SITEには、(半分に折る)4 と記述されています。

>>『ヒルベルト』のドラゴン曲線とは、ドラゴン曲線のことを表すのでしょうか?
*ドラゴン曲線は、ヒルベルトとは関係がありません。
*ドラゴン曲線の創始者名はしりません。

>>『ヒルベルト』のドラゴン曲線。課題が出ました。
*教授が思い違いをしているのか、課題文を読み違えてのか、と思います。
、、、、、、、、、、、、、、

*ヒルベルト曲線の原型は、ペアノ曲線です。
*とても似ているので、判別しかねることもあります。
*ヒルベルト曲線の方が見易いようで、原型のペアノ曲線が駆逐されてしまって、ネットでは一度しか見ておりません。
*なので、ヒルベルト曲線を(ペアノ曲線との一種)としてあるSITEもあるようです。
*両者共に、フラクタルで、
*次元は、2だったと思います。

すみません。MAILをしばらくみなかったので・・・
随分、遅れてしまいました。

>>どちらの図を描けばいいのでしょうか。
*>>4相目 と書いてあるので、明らかに(ドラゴン曲線)です。
*SITEには、(半分に折る)4 と記述されています。

>>『ヒルベルト』のドラゴン曲線とは、ドラゴン曲線のことを表すのでしょうか?
*ドラゴン曲線は、ヒルベルトとは関係がありません。
*ドラゴン曲線の創始者名はしりません。

>>『ヒルベルト』のドラゴン曲線。課題が出ました。
*教授が思い違いを...続きを読む

Q何故,[g]=[Ψ]1[f][Φ]^-1ではなく[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]なの?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]はΦ^-1,
[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]はf,
[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]はΨで
結局[g]=[Ψ][f][Φ]^-1となると思ったのですがなぜか本には
[g]=[Ψ]^-1[f][Φ]となっています。何処を勘違いしたのでしょうか?

[v_1,v_2,…,v_n],[v'_1,v'_2,…,v'_n]を線形空間Vの基底とする。
[w_1,w_2,…,w_m],[w'_1,w'_2,…,w'_m]を線形空間Wの基底とする。

それで図のように

fを基底[v_1,v_2,…,v_n]から基底[w_1,w_2,…,w_m]での線形写像。
gを基底[v'_1,v'_2,…,v'_n]から基底[w'_1,w'_2,…,w'_m]での線形写像。
そしてΦを[v_1,v_2,…,v_n]から[v'_1,v'_2,…,v'_n]への基底変換の写像。
Ψを[w_1,w_2,…,w_m]から[w'_1,w'_2,…,w'_m]への基底変換の写像とすると
gの表現行列を[g]と表す事にすれば
[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→...続きを読む

Aベストアンサー

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(回答#2より)
[x]=[Φ][x']

同様に、Wの元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y]、
同じ元を基底[w1,...,wn]で表現したものを[y']で表すと、
[y]=[Ψ][y']

線形写像Tを基底[v1,...,vn]と基底[w1,...,wn]で表すと、
[y]=[f][x]
同じ線形写像Tを基底[v'1,...,v'n]と基底[w'1,...,w'n]で表すと、
[y']=[g][x']

これらの関係から、
[y']=[Ψ^-1]*[y]=[Ψ^-1]*[f][x]=[Ψ^-1][f][Φ][x']
となり、これを[y']=[g][x']と見比べると、
[g]=[Ψ^-1][f][Φ]
となっていることがわかる。

最初の質問にあった、
>[v'_1,v'_2,…,v'_n]→[v_1,v_2,…,v_n]→[w_1,w_2,…,w_m]→[w'_1,w'_2,…,w'_m]と写されるので
の対応はベクトル間の対応であって、だからこそ、その係数(=成分)の対応はこれとちょうど逆の変換を受けるのである。このことは、
[v][x]=[v'][Φ^-1]*[Φ][x']
[w][y]=[w'][Ψ^-1]*[Ψ][y']
と表してみてもわかる。ベクトルの成分[x']は行列[Φ]によって[x]にうつり、同じく成分[y']は行列[Ψ]によって[y]にうつっている。だから、同一の線形写像が
f:[x]→[y]
g:[x']→[y']
と表現されているなら、[Ψ][g][x']=[f][Φ][x']となっていて、いいかえると、
[x']→[y']の対応は、[x']→[x]→[y]→[y']という対応をたどったときも、一致していなくてはならない。だから、成分で考えたとき、[g]は、[Φ]→[f]→[Ψ^-1]と同一になるのである。つまり[g]=[Ψ^-1][f][Φ]。

あなたのいう[Φ^-1]→[f]→[Ψ]は、基底ベクトルの対応関係であって、成分表示と混同してはいけない。

記号を整理しておく。

線形写像T: V→Wを、Vの基底[v1,...,vn]とWの基底[w1,...,wn]で表現した行列を[f]、
同じ線形写像Tを、Vの基底[v'1,...,v'n]とWの基底[w'1,...,w'n]で表現した行列を[g]で表す。
[v1,...,vn]から[v'1,...,v'n]への基底変換の行列を[Φ]とする。
(v'1,...,v'n)=(v1,...,vn)[Φ]

[w1,...,wn]から[w'1,...,w'n]への基底変換の行列を[Ψ]とする。
(w'1,...,w'n)=(w1,...,wn)[Ψ]

Vの元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x]、
同じ元を基底[v1,...,vn]で表現したものを[x']で表すと、(...続きを読む

Qヒルベルト変換とは何者なのでしょうか?

ヒルベルト変換とは何者なのでしょうか?
ネット上(OKWave含む)で説明されているのがあるのですが、私のバックグランドの知識が乏しく理解ができません。エントリーレベルの説明をしていただけると次の理解ステップにつながります。
・ヒルベルト変換はひらたく言うと何をする(何ができる)ものなのか?ご利益は何?
・使い方として、包絡線検波に利用できそうだがどう関係しているのか?
以上を噛み砕いて説明していただけないでしょうか。

Aベストアンサー

で、ヒルベルト空間の方は分かっているのですか?
ものには順序がありますよ。
ネットで調べたって分かるはずないです。
ちゃんと教科書を読んで下さい。
それが絶対必要な難解な概念です。

Qfが[-π,π]で偶関数の時,fのフーリエ級数はf~a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)

こんにちは。下記の問題でつまづいてます。

[問] f∈R[-π,π](R[π,-π]は[π,-π]でリーマン積分可能な関数の集合)とする。
(1) もし,fが[-π,π]で偶関数の時,fのフーリエ級数は
f~a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx,n=1,2,…)
(2) もし,fが[-π,π]で奇関数の時,fのフーリエ級数は
f~Σ[n=1..∞]b_nsin(nx) (但し,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx,n=1,2,…)

[解]
f(x)はf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞](a_ncos(nx)+b_ksin(kx))と表せ。
b_k=1/π∫[-π..π]f(x)sin(kx)dx=1/π∫[-π..π]f(-x)sindx
偶関数の定義からf(x)=f(-x)を使って,
このb_kの値が0となる事を言いたいのですがこれからどのように変形できますでしょうか?

Aベストアンサー

  g(x) = f(x)*sin(x)
と置くと、
f(x)=f(-x)ならば、
  g(x) = f(x)*sin(x) = -f(-x)*sin(-x) = -g(-x)
すなわち、fが偶関数ならばgは奇関数。
よって
  ∫[-π,π]{g(x)} = 0

Qヒルベルト空間について

∀x∈H:ヒルベルト空間について

 sup{<x,y>| ∥y∥≦1 y∈H}=∥x∥

を示したいのですが。

(但し、<、> はHでの内積、∥・∥は内積から入るノルムとします。)

ユークリッド空間ならば、yはxと方向が同じで長さが1のベクトルだということはイメージできるのですが。ヒルベルト空間だとうまく証明できません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

αが複素数でx,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0

そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。

∥・∥はノルムの次の要件を満たす。
αが複素数でx,y∈Hについて
(1)x≠0⇒0<∥x∥
(2)∥0∥=0
(3)∥α・x∥=|α|・∥x∥
(4)∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥

0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2・・・(*)
すなわち
0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は(*)式の右辺が0すなわち
αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき

従って
sup{|<x,y>| |0≦∥y∥≦1,x,y∈H}
=∥x∥・∥1∥=∥x∥

なおこの式はHがヒルベルト空間でなくても成立する。
内積の性質だけを使って導いたから当然でしょう。
内積が定義された集合であれば何でも良い。

αが複素数でx,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0

そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。

∥・∥はノルムの次の要件を満たす。
αが複素数でx,y∈Hについて
(1)x≠0⇒0<∥x∥
(2)∥0∥=0
(3)∥α・x∥=|α|・∥x∥
(4)∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥

0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2・・・(*)
すなわち
0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は(*)式の右辺が0すなわち
αを複素数としてy=0ま...続きを読む

Q「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」

「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,
∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」
の真偽判定問題です。

偽となる反例として
f(x)が底辺が1/n^2の二等辺三角形の側辺を辿るような
ジグザクの折れ線のグラフ(この時lim[x→∞]f(x)は振動)なら
全二等辺三角形の総和はΣ[n=1..∞]1/2n^2で収束と思ったのですがこれはx>0で正値をとる事に
反してしまいます。
やはり,この命題は真となるのでしょうか?

Aベストアンサー

過去に同じ質問がありました。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3653990.html

Qリーマン空間とヒルベルト空間の融合は可能か?

大雑把に書きますと、
まず基本的な空間である「ユークリッド空間」があって、
それを非ユークリッド的にすると「リーマン空間」が得られるそうです。
または、次元を無限大にすると「ヒルベルト空間」が得られるそうです。
もちろん、「リーマン空間」や「ヒルベルト空間」以外の空間もあるかと思いますが、
これら二つの空間がそれらの代表格かと思われたので書きました。
ここで私が思うことは、
「リーマン空間とヒルベルト空間の融合は可能か?」ということです。
換言するならば、「リーマン空間の次元を無限大にするとどうなるのか?」
または、「ヒルベルト空間を非ユークリッド的にするとどうなるのか?」
ということです。
数学的に、もうそういう空間が存在していて「~空間」という名前がついているのならば、
「~空間」という名称を教えて頂きたいです。
また、無いのならば一体どうなるのかが楽しみで仕方がないです。

ここで、私の頭の中を吐露しますと、
アインシュタインの相対性理論はリーマン空間を数学的基盤として記述してあります。
一方、量子論はヒルベルト空間を数学的基盤として記述してあります。
相対性理論と量子論は仲が悪く、世界中の科学者達が努力していますが、
未だにこの二つの理論が融合した理論は出来ていません。
ならば、それらの数学的基盤を成す空間だけでも融合できないのだろうか?
と思った次第であります。
まぁこれは数学というカテゴリに反するので備考ということで。
上記の質問に答えて頂けると幸いです!
私は浅学でものを言っているだけに、
的外れなことを言っていたら申し訳無いです。
その点も指摘して頂けたら幸いです。

大雑把に書きますと、
まず基本的な空間である「ユークリッド空間」があって、
それを非ユークリッド的にすると「リーマン空間」が得られるそうです。
または、次元を無限大にすると「ヒルベルト空間」が得られるそうです。
もちろん、「リーマン空間」や「ヒルベルト空間」以外の空間もあるかと思いますが、
これら二つの空間がそれらの代表格かと思われたので書きました。
ここで私が思うことは、
「リーマン空間とヒルベルト空間の融合は可能か?」ということです。
換言するならば、「リーマン空間の...続きを読む

Aベストアンサー

物理的意味を考えると、相対論でのリーマン空間は実際の宇宙空間を表現するものですが、量子力学でのヒルベルト空間は全ての量子の状態を表現する数値を並べた解析力学的な状態空間ですから、リーマン空間を無限次元に拡張してもANo.3さんの仰るとおり物理的意味はないでしょうね。

物理的にはリーマン空間の各点の上にベクトル空間を乗せるベクトル場の考え方が良いでしょう。これを一般化したものは数学ではファイバー束と言い、実際にゲージ理論などで使われています。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F

QQ∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0は何故?

Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0
と本で見かけたのですが測度とは関数の事ですよね。だからこれは
Q∩[0,1]全体の測度による像=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度による像=0
という意味ですよね。

測度とは
「(Ω,B)を可測空間(Bはσ集合体)とする時,f:B→Rが(Ω,B)上の可測

(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N (m≠n), B∋b_m,b_nは互いに素 ⇒ f(∪[k∈N]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

の事だと思います。

点{r}の測度fによる像=0だから
Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度fによる像=0なんだと思います。

どうして
(点{r}の測度fによる像)=0
と言えるのでしょうか?

つまり,
(Q∩[0,1]全体の測度fによる像)=f(∪[b∈Q∩[0,1]]{b})=Σ[b∈Q∩[0,1]]f({b})と変形できると思いますが
これからどうしてf({b})=0が言えますでしょうか?
推測ですが
f({b})=#{b}/#(Q∩[0,1])=1/(アレフ0)=0と乱暴に計算してもいいでしょうか?
(上の定義からはf({b})=#{b}/#(Q∩[0,1])と書ける事すらも言えてませんが…)

Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0
と本で見かけたのですが測度とは関数の事ですよね。だからこれは
Q∩[0,1]全体の測度による像=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度による像=0
という意味ですよね。

測度とは
「(Ω,B)を可測空間(Bはσ集合体)とする時,f:B→Rが(Ω,B)上の可測

(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N (m≠n), B∋b_m,b_nは互いに素 ⇒ f(∪[k∈N]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

の事だと思います。

点{r}の測度fによる像=0だから
Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度fによる像=0なんだと思いま...続きを読む

Aベストアンサー

おはようございます。簡単に説明しますが、

B⊃{b_i}(b_i は単調減少列 つまり、b_i⊃b_{i+1})
ならば

f(∩b_i)=lim f(b_i)

が成り立ちますから(このことは、ご自分で調べてください。測度論の本には必ず載っています。)

点{r}に対し、b_i=(r-1/i,r+1/i) とすれば

f({r})=f(∩b_i)=lim f(b_i)=lim 2/i=0

となって、f({r})=0となるのです。


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