行列 > 整式であることの利点

詳解 応用物理 数学演習という本を独学しています。

行列の章において、「元がxの整式である...」という記載がありました。

行列の元がxの整式 (xの自然数乗に定数をかけた値を足しあわせたもの)であることは、行列の計算において、なんらかの利点（計算しやすさ）があるのでしょうか?

No.3 ベストアンサー 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/12/24 23:50

回答No.1ですでに触れられているように特性方程式 P(x) = |xE - L| を計算することが念頭にあるのでしょう．これは成分が多項式の元からなる行列の行列式です．（数学系の人間には整式よりも多項式の方が通りがいいと思います．)

利点といえば最小多項式やJordan標準形の計算でしょうか．最小多項式がわかれば対角化可能かどうか判定できます．Jordan標準形をやる前に単因子論というのをやった(やる)かもしれません．いまe1(x), ..., en(x) を xE - L の単因子とすると en(x) はちょうど L の最小多項式になり，また明らかに P(x) = Πei(x) となります． また A, B が相似である必要十分条件は xE - A, xE - B の単因子が一致することです．手計算ではあまりやりませんが大きな行列(線形変換)の最小多項式を求めるのは特性多項式を割り切るものをいくつも試していくよりも単因子を計算するほうが速いと思います．また単因子がわかれば標準形はわかります．

参考URL：http://www.math.tsukuba.ac.jp/~amano/lec2013/alg …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「整式」よりも「多項式」と呼ぶほうが通りいいのですね。

最小多項式を知ることで対角化の可能性がわかるという点、
A,Bの相似のための必要十分条件、
単因子の計算による最小多項式の計算、など
色々勉強になりました。

リンク先の情報も勉強したいと思います。

お礼日時：2013/12/25 12:51

No.1 回答者： xarkism2913 回答日時： 2013/12/24 22:49

計算のしやすさというより、行列の応用の幅が広がる、という感じ

でしょうか。


例えば、固有値、固有ベクトルの算出でxを不定元として

A - xE

の行列式を出して、その０の解を求めるってことをやりますが
このA -xEは、行列式の元を整式まで広げて考えてるわけです。
xを決め打ちでは、このプロセスはできません、ってこととか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

元として数値から整式に拡張して考えるということなのですね。

勉強になりました。

お礼日時：2013/12/25 12:47