微分の基礎を教えてください。

微分の問題が解けず悩んでいます。文系にも理解できるように教えてください。

添付写真の問題が解けません。
どなたか回答と解説を教えていただけないでしょうか。
当方ずっと文系のため、高校卒業以来数学から離れていましたが
30代半ばになった現在、思うところがあり、数学の勉強をしています。
そのため、お手数をお掛けして恐縮ですが、文系の私にも理解できるレベルで
解説をしていただけるとありがたいです。
どうぞ宜しくお願いします。

(1)は式をQで微分して、誘導の通り式=0と置いてQの値を求める

(2)は(1)で微分した式をもう一度微分する

まではわかっていて、(1)の微分までは出来るのですが、式＝０と置くと言われても
記号（アルファベット）が多くて、どうやるのか、どんな答えになるのかがわかりません・・・。

No.3 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/06/25 12:32

(1)の微分までは出来る、ということなので、微分のやり方はわかっていらっしゃると思いますが、一応確認から入ります。

Ａの２乗をパソコン上では　Ａ^2　と表します。
Ａの右下に1のある　エーイチ　エーワン　をパソコン上では　Ａ_1　と表します。
ｃ_2・Ｒ／Ｑ＝ｃ_2・Ｒ・Ｑ^(-1)
と書けます。

微分は「何について微分するか」によって答えが変わりますが、ｆ（Ｑ）と書いてあるものはＱについての関数なので、Ｑについて微分することになります。

(1)

ｆ（Ｑ）＝ｃ_1・Ｔ・Ｑ／２＋ｃ_2・Ｒ・Ｑ^(-1)

式の形から、Ｑ≠０　とわかる。

ｆ'（Ｑ）＝ｃ_1・Ｔ／２－ｃ_2・Ｒ・Ｑ^(-2)

ｃ_1・Ｔ／２　はＱに関係のない「定数」　そこでこれをＡとおく
ｃ_2・Ｒ　も関係のない「定数」　　　　　そこでこれをＢとおく

ｆ"（Ｑ）＝　　　　　０－(-2)ｃ_2・Ｒ・Ｑ^(-3)
　　　　＝　　　　　　　　２ｃ_2・Ｒ・Ｑ^(-3)

２ｃ_2・Ｒ　も関係のない「定数」　　　　そこでこれをＤとおく


ｆ'（Ｑ）＝Ａ－Ｂ・Ｑ^(-2)
ｆ"（Ｑ）＝Ｄ・Ｑ^(-3)

と書き直せる。わざわざ書き直さなくても、頭の中でこのように見なして考える。

ｆ'（Ｑ）＝Ａ－Ｂ・Ｑ^(-2)＝０　とおくと　その時の　Ｑの値が　Ｑ゜（画像が小さくて読めないのでこう表します。）

Ａ－Ｂ・Ｑ゜^(-2)＝０

Ａ＝Ｂ・Ｑ゜^(-2)

Ａ／Ｂ＝Ｑ゜^(-2)

逆数を取る。つまり、分母分子を逆にする。
Ｂ／Ａ＝Ｑ゜^2

ここで、Ａ、Ｂを元に戻す。
Ｑ゜^2＝Ｂ／Ａ＝（ｃ_2・Ｒ）／（ｃ_1・Ｔ／２）
＝　２　ｃ_2・Ｒ／（ｃ_1・Ｔ）

したがってこれのルートを取るだけ。
Ｑ゜≧０　より
Ｑ゜＝　√（２　ｃ_2・Ｒ／（ｃ_1・Ｔ））

（－√　を考えなくて良い）

文字が多いとうっとおしいのは、数学が得意な人でも同じだと思いますが、このように、ある程度　塊ごとに別の文字に置き換えると、計算中の間違いを減らせます。

(2)

ｃ_2　≧０
Ｒ　　≧０
ｃ_1　≧０
Ｔ　　≧０
より
Ｑ゜　≧０
Ｄ＝２ｃ_2・Ｒ　≧０

ｆ"（Ｑ）＝Ｄ・Ｑ^(-3)
これは、ｙ＝ｘ^(-3)　のグラフの形のようになる。
放物線を半分で切って、ｘ＝０　より小さいところは、逆さまにしてくっつけた形。

Ｑ＜０　のとき　ｆ"（Ｑ）＜０
（Ｑ＝０　のとき　ｆ"（Ｑ）＝０））
Ｑ＞０　のとき　ｆ"（Ｑ）＞０

これはなぜかと言うと、Ｑ^(-3)　つまり　Ｑを３回掛け算するとき、
Ｑがマイナスなら、マイナスかけるマイナスかけるマイナス　で　マイナス
Ｑがプラスなら、プラスかけるプラスかけるプラス　で　プラス
だからです。


ここから、
Ｑ＞０　のとき　だけに注目する。
ｆ"（Ｑ）＞０　ということは、ｆ'（Ｑ）は　マイナスからプラスへ　単調増加する。

マイナスからプラスに転じる途中に、Ｑ＝Ｑ゜で　ｆ'（Ｑ）＝０　となる。

ｆ'（Ｑ）はグラフ上では　ｙ＝ｆ（Ｑ）　の傾きを表すから、
Ｑ　　　　　　０　　→　Ｑ゜　→　それ以上
ｆ'（Ｑ）　　－　　→　　０　→　　＋
ｆ（Ｑ）　右下がり　→　極小　→　右上がり

ｆ（Ｑ）は　Ｑ＝Ｑ゜で　極小　となる。
が答えです。

ｆ（Ｑ）は値を求めることが多いですが、
ｆ'（Ｑ）や　ｆ"（Ｑ）は　正負だけを調べれば充分なことが多いので、根気よくがんばってください。

この回答へのお礼

大変、分かりやい解説をしてくださり有難うございます。
数学初級の私でも理解できる解説でした。
お陰様で問題を解くことができ、本当に助かりました。
感謝申し上げます。

お礼日時：2014/06/27 16:22

No.4 回答者： info222_ 回答日時： 2014/06/25 16:42

(1)

C=f (Q)=(c1T/2)Q+c2R/ Q
C'=f ' (Q)=(c1T/2)-c2R/Q^2=c2R((c1/c2)(T/R)-(1/Q^2))
f ' (Q)=0となるQ=Q'(≧0)は　Q'=√{ (c2/c1)(R/T) } …（答）

(2)
f '' (Q)=(1/3)c2R/Q^3
f '' (Q')=(1/3)c2R/((c2/c1)(R/T))^(3/2)>0
よって
Q=Q'=√{ (c2/c1)(R/T) } で C=f(Q)は極小となる。
極小値は
　C=f (Q')=(c1T/2)Q' +c2R/Q'
　=(1/2)√(c1c2TR)+√(c1c2TR)
　　=(3/2)√(c1c2TR)

この回答へのお礼

回答＆解説を頂きありがとうございました。
大変助かりました。
感謝申し上げます。

お礼日時：2014/06/27 16:23

No.2 回答者： transcendental 回答日時： 2014/06/25 12:23

変数と定数を見分けてください。

この場合は、Qが（独立）変数です。
与えられた関数をQで微分すると、
ｆ’（Q）＝ｃ１・T/２－ｃ２・R/Q＾２＝｛ｃ１・T・Q＾２ー２・ｃ２・R｝/（２・Q＾２）
となり、これから、Q＝√｛２・ｃ２・R/（ｃ１・T）｝の前後で導関数の符号が負から正へと変化するから、ｆ（√｛２・ｃ２・R/（ｃ１・T）｝）＝√｛２・ｃ１・ｃ２・T・R｝が最小値となります。

第二次導関数を計算するまでもないのですが、
ｆ’’（Q）＝２・ｃ２・R/Q＾３＞０ですから、関数のグラフは「下に凸」です。

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※この場合は、微分しなくても、「相加・相乗平均の関係」を用いると最小値を求められます。

この回答へのお礼

回答＆解説を頂きありがとうございました。
大変助かりました。
感謝申し上げます。

お礼日時：2014/06/27 16:19

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/25 10:57

Q 以外は定数と思え.

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました。

お礼日時：2014/06/27 16:17