確率変数列の期待値分散

独立な確率変数列　x[0], x[1], x[2]・・・・ 　は　確率ｐ　で１　　確率1-p　で０の値を取ります。
この確率変数列をもとに
確率変数列　y[0], y[1], y[2],・・・・を
　　
　　ｙ[0]＝１
　　ｙ[i+1]=y[i]+a(x[i]-y[i]) (i=0,1,2,・・・）　　　　ただし　0<a<1

この時
（１）y[n]=(1-a)^n+Σ【i : n-1~0】 (1-a)^(n-i-1)・x[i] となる事を示せ

（2）y[n]の期待値Enと分散Vnを求めよ

(3)E[∞]=lim【n→∞】En　　V[∞]＝lim【n→∞】Vn　とおく、　
1/2<p<3/4であるとき、　　E[∞]－√V[∞]　≥　1/2　を満たすaの最大値を求めよ

上の問題がわからなくて困っています。
どこかだけでも良いので、どなたか、教えてください。　
よろしくお願いします。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2014/07/09 16:35

　互いに独立な確率変数 a, bの期待値をそれぞれE(a), E(b)、分散をそれぞれV(a), V(b)とすると、確率変数 c :

　　c = αa + βb
の期待値E(c)と分散V(c)は
　　E(c) = αE(a) + βE(b)
　　V(c) = (α^2)V(a) + (β^2)V(b)
です。この事さえ知っていれば、計算できるはず。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/07/07 00:45

「y0,y1,・・・の確率」がなんのことなのかわからんのだけど, 今の場合独立性から加法性がなりたつ.

(3) は, まあそこに書いてあることを素直にやっていけばなんとかなるんじゃない?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/07/03 23:42

どこがどうわからない? まさか (1) からわからないなんてことはありえないよね?

この回答への補足

遅くなって申し訳ありません。

(1)は、大丈夫です。
書き方が悪くてすみません。

(2)(3)がわからないです.
(2)なのですが、
En＝(1-a)^n+{aΣ(1-a)^(n-i-1)}p
Vn=En[yn^2]-{E[yn]}^2
=(1-a)^n+{aΣ(1-a)^(n-i-1)}p-〔(1-a)^n+{aΣ(1-a)^(n-i-1)}p〕^2

のようにしてしまっているのですが、合っているのかわかりません。
確率変数列Xを基に作った確率変数列、y0,y1,・・・の確率は、(1)式のΣの項にｘの確率を当てはめれば良いのでしょうか？

補足日時：2014/07/05 20:05