No.4
- 回答日時:
>1 0 0
>0 √(2)/2 √(2)/2
>0 √(2)/2 √(2)/2
ああ、間違ってます。符号が抜けてます。
>1 0 0
>0 √(2)/2 √(2)/2
>0 √(2)/2 -√(2)/2
がただしい。
これを使って対角化します。
対称行列なので P^(-1)=P^T = P ですが
P^(-1)AP
で対角化できます。
3 0 0
0 3 0
0 0 -1
になりますね。
>1 0 0
>0 1/√2 1√2
>0 1√2 1√2
>というのは、問題を直交化したものですよね?
いえ、Pの各ベクトルは直交するようにしますが、元の対称行列を
直交化する必要はありません。
対角化の固有値の順番は P の各固有ベクトルの固有値の順番になるはずですが、
どうでもよいはなしです。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
では簡単に。
まず λ=-1 では A-λE は4 0 0
0 2 2
0 2 2
なので (A-λE)X = 0 ( X = (x, y, z)^T, ^T: 転置 )なら
x = 0, y = -z になるから、固有空間は直線で、片方の方向を採用して正規化すると
固有ベクトルは
v1=(0, √(2)/2, -√(2)/2)~T
λ=3 はちょっとやっかいで
0 0 0
0 -2 2
0 2 -2
だから y = z で、固有空間は平面を表すベクトル集合になります。
この平面は λ=-1 の固有ベクトルと垂直なので、適当に
選んだ正規化された基底を2こ選べばよい。
#対称行列の固有ベクトルは勝手の直交するけど、この問題はそれを
#わからせる目的なのでしょう。
y = z を満たす直交した正規化されたベクトルを適当に見繕うと
v1 = (1, 0, 0)^T
v2 = (0, √(2)/2, √(2)/2)~T
なので対角化用の行列 P は3個のベクトルを適当に並べて
1 0 0
0 √(2)/2 √(2)/2
0 √(2)/2 √(2)/2
とすればよい。
P^(-1)AP
で対角化できます。
直交行列では、P^(-1)=P^T を利用すると計算が
簡単です。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
本文に書かれていた、
1 0 0
0 1/√2 1√2
0 1√2 1√2
というのは、問題を直交化したものですよね?
これを対角化すると、
3 0 0
0 3 0
0 0 -1
のようになると思うのですが、このそれぞれの値の並べ方はどうやって決めるのでしょうか?
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