∫[0→π/4]log(tanx)dxの積分

tanx=e^tとおいて
dx/cos²x=e^tdt
dx=(e^tcos²x)dt
={e^t/(1+tan²x)}dt
=e^t/{1+e^(2t)}dt
log(tanx)=log(e^t)=t
として
積分範囲を-∞～0に変え
∫[-∞→0]te^t/{1+e^(2t)}dt
としたのですがここからいきづまりました
どのようにやるといいでしょうか

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2015/01/12 18:55

ご質問の積分はカタラン(Catalan)の定数に負号を付けたものになりますので，

解析的に計算することは無理です．
http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_constant
http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html
をご覧ください．
上のページに載っていますように，カタランの定数の積分表示に
∫[0→π/4]log(cot x)dx
があります．
cot x = 1/(tan x) ですから，log(cot x) = -log(tan x) で
∫[0→π/4]log(tan x)dx = -∫[0→π/4]log(cot x)dx
がわかりますので，ご質問の積分はカタランの定数に負号を付けたものになります．

この回答へのお礼

回答ありがとうございました
なるほどです
方針が違っていたんですね
勉強になりました
またよろしくお願い致します

お礼日時：2015/01/12 19:47