Dirichlet 積分 の証明に関する質問

Dirichlet 積分 の証明に関する質問
解析概論（1964年版）でFourier式展開を勉強しています．
その後半にDirichlet- Jordanの定理（定理69）（P288～）があります。今回の質問はその予備定理として掲げられている次の命題です。

［Dirichlet の積分］
区間［0,a］でf(x)が有界変動ならば
lim u→∞ ∫0,a f(x)(sin ux/x)dx=π/2･f(+0), a>0 (1)

本文では以下、この予備定理の証明がありますが、途中からわからなくなってしまいました。

「f(x)-f(+0)にf(x)を代用すれば、f(x)は［0,a］で単調増大で、f(x)≧0、f(＋0)=0」というところですが、

f(x)≧0、がどうして言えるのかがわかりません。（f(＋0)=0の方は、f(x)-f(+0)=f1(x)と置けば、
f1(+0)=f(+0)-f(+0)=0, そのf1を改めてfとした、ということで理解できました。)

自分でいろいろ試行錯誤してみてf(0)＞0が不可であることはわかりましたが、f(0)＜0が不可であることを証明できません。f(0)=0であると都合がいいのですが。よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 「閉区間であるので改めて+0を0として考えればf(x)≧0」
  のところですが、f(0)＜0でもf(x)の単調増大性は保たれます。
  
  ですから「改めて+0を0」というのは、失礼ながら無理があるのではないでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/02/11 17:41

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/02/11 03:31

当方、工学系の出で数学専攻ではないのだが、同じように「解析概論」で学習させてもらっていた(第9章の部分は別の書籍で学習しているけれど・・!?)

「解析概論」を深読みできる程の地頭を持ってはいない事をお断りした上で・・、　(以上弁解!)

---f(x)≧0 がどうして言えるのか---

f(x)は［0,a］で単調増大であることから、区間内の任意の点x,y (a≧x＞y≧0)においてf(x)＞f(y)であるので、y→+0で考えればf(x)＞f(+0)
故にf(x)－f(+0)＞0で、f(+0) = 0だからf(x)＞0だが、閉区間であるので改めて+0を0として考えればf(x)≧0

・・・と言う理解の仕方をしていた

(参考にならない様であればご容赦・・!)

この回答へのお礼

あまり人気のない質問にお答えいただき、ありがとうございました。この2週間、私なりにいろいろ考えてみました。私の勉強不足でした。

解析概論p135（有界変動関数）の3行目に
f(x)＝f(a)＋P(x)-N(x)
というのがあることを見落としていました！

しかし、それを考慮してもうまく行きません。
もう少し、考えてみます。

いずれにせよ、重ねてありがとうございました。

お礼日時：2015/02/26 10:43