量化子がカッコの外と中にある論理式の解釈の仕方を教えてください。

言語学の論文が読めるように、記号論理学を学んでいる者です。基本的なところは押さえつつあるのですが、量化子を持った式のなかに、さらに量化子を持った式がでてくる場合、通常はどのようなステップで、その式が表す意味を解釈するのかどなたか教えて頂けると幸甚です。

例えば下のような式を解釈する場合は

∀x [[G(x)∧ ∃y [C(y) ∧ O(x, y)]] → S(x, y)]
G (x) : x は女の子である。
C (y) : y は猫である。
O (x, y) : x は y を飼っている。
S (x, y) : x は y をなでる。

①∀xを、一般の数式のようにカッコ内に分配したりとかしていくのでしょうか？

②それとも地道に
(i)∃y [C(y) ∧ O(x, y)]の部分を、まずxをあたかも定項のように扱って「yは猫である」と「xはyを飼っている」の積とし、「xは猫を飼っている」と考えた上で
(ii)∃を考慮し、「猫を飼っているxが存在する」
と訳し、
(iii)次にG (x)と今訳した部分の積を考えて「xは、皆女の子だ。そして、その中に猫を飼っているxが存在する」・・・このあたりから分からなくなってきます。
(iv)これを続けると「xは、皆女の子だ。そして、その中に猫を飼っているxが存在する。そういった場合には、（男女に関わらず）世の中のxは、yをなでる」というようになります。
（この式はロバ文の説明に出てきた式なのですが、もしかして、結局「ロバ文は１階述語論理式では表せない。これはその例だ」ということなのでしょうかね？(^_^;)　「S(x, y)が∃に束縛されていないのが問題だ」のようなトーンのくだりがありました）

③それとも他の見方をしていくのでしょうか。

どうぞ宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/11/05 23:54

論理の世界の中で言えば、与えられた論理式の「意味」を考えるというのは、検討対象の論理（一階述語論理かな）の枠外（メタ）の話なので、どうするのが正しいかは何も言えません。

それぞれの人が好き勝手に「意味」を決めればよいです。極端な話、全ての論理式を「私は猫が好き」という意味だと解釈するという人もいるかもしれません。

ただ、まあそうは言っても、「意味」を考えたくはなりますね。そもそも論理式というのは、自然言語の文から、その論理構造だけを抽象化して取り出して、そのまま記述したものなわけで、逆に言えば、書かれた論理式をそのまま素直に読めば（登場する述語に具体的な関係を入れ直せば）、元の自然言語に戻るわけです。つまり②ですね。
①のように、一階述語論理の定理を使って論理式を変換してしまってたら、普通は、与えられた論理式の意味を解釈したものと言わないのでは。


提示の論理式の「意味」は
「猫を飼っている女の子はみなｙをなでる」
ということになりますかね。
後ろのｙは、束縛されてない変数（自由変数）です。自由変数が残っている論理式の「意味」は、よくわかりません。（大多数の人が同意するような「意味」は存在しないと思います。）

この回答へのお礼

有難うございました。とっても参考になりました！

お礼日時：2015/11/06 21:04

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/11/06 00:04

一般論でいうと, 量化子を分配してはいけません. 面倒でも地道に解釈していくしかありません. 今の場合だとまず

すべての x に対して [G(x)∧ ∃y [C(y) ∧ O(x, y)]] → S(x, y)
として, そのごさらに見ていくことになります. 最終的には
猫を飼っている女の人はみんな y をなでる
となるのかな.

ロバ文うんぬんについては, この文章からでは何を指しているのかわかりません. 少なくとも式自体は 1階述語論理で書けてますからね.

この回答へのお礼

ご指導ありがとうございました。大変参考になりました。やはり、量化子（ここでは∃）で対象領域を指定している変項（ここではy）以外の変項（ここではx）を、まずは、仮に定項と考え意味をとらえていくわけですね。そして次にその定項（x）を次の量化子（ここでは∀）が定める領域に沿って意味の中に取り込んでいくような地道なプロセスを取るんですね。

お礼日時：2015/11/06 21:02