「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

【問題】
正三角形の二面対群D6とはどのような群なのか説明せよ。
また、サイズ3の部分群をすべて求めよ。

【回答】
二面対群であるということは、対称変換のなす群であるということである。
つまり、変換によって図形は形を変えない。
正三角形は、三つの鏡映に対応する回転s1,s2,s3と、2π/3、4π/3の対称回転、eの恒等変換の六つの対称回転を行う。
2π/3、4π/3の対称回転は、2π/3をrとし、それぞれr,r^2で表す。
これら、s1,s2,s3,r,r^2,eの対称回転の組み合わせによって構成される群が、D6である。

三角形の頂点をA,B,Cとし、それぞれの対称回転によって頂点の位置がどのように変化するかを考える。
s1
(A,B,C)→(A,C,B)
s2
(A,B,C)→(C,B,A)
s3
(A,B,C)→(B,A,C)
r
(A,B,C)→(C,A,B)
r^2
(A,B,C)→(B,C,A)
e
(A,B,C)→(A,B,C)

位数とは、n回繰り返して最初に戻る数のことである。
よって、
eは位数1
s1,s2,s3は位数2
r,r^2は位数3
であることがわかる。


以上の答案で、この問題は正解でしょうか?
添削をお願いします。

A 回答 (2件)

OKだと思います。

ただ、

> 三つの鏡映に対応する回転
> それぞれの対称回転

 なんでもかんでも「回転」と呼ぶ流儀があるのかどうか知らないが、まとめて呼ぶなら単に「変換」、区別するなら「回転変換・鏡映変換」とか言っとく方が無難な気がするなー。
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あれ?



「また、サイズ3の部分群をすべて求めよ。」に対して何も言っていないような気がするよ.
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この回答へのお礼

本当だ。
その部分はクリアできたので、今回は「正三角形の二面対群D6とはどのような群なのか説明せよ。」だけ聞くつもりでした。
ご指摘ありがとうございます。

お礼日時:2015/11/11 16:52

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[1]
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[2]
G=R-{-1}とし、演算a*b=a+b+abを考える。ただし、右辺は実数における普通の和と積である。

(1)
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(2)
(G,*)は群になることを示せ。

(3)
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[3]
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Aベストアンサー

同じ問題で苦しんでいる, 仲間もいますね.

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139379225

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10139465860

ところで, D_6 と S_3 の関係は, ご存知ですか.
多くの学生は知っていて, D_6 の自明でない部分群が4つというのは, 数秒で答えられるんですよ.
質問者様の場合, 基本があまり理解できていないようなので, D_6 の部分集合を書き出してみて, それら1つ1つが部分群かどうか, 御自身で調べることをお奨めします(正三角形の3つの頂点に, 1, 2, 3 と名前を付けます).
単位元を持たない部分集合は, 問題外ですね.
閉じているかどうか調べるには, 置換の積を正しく計算できる必要がありますが, 計算できない学生も少なくありません.
「位数 6 の群だから, 部分群の位数は 6 の約数 1, 2, 3, 6 で, 自明でない部分群の位数は 2 か 3 である」などと暗記しても, 置換の積を計算できないまま試験を受ければ, ひどい結果に終わるでしょう.

何か疑問があれば, 遠慮なく質問してください.

同じ問題で苦しんでいる, 仲間もいますね.

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多くの学生は知っていて, D_6 の自明でない部分群が4つというのは, 数秒で答えられるんですよ.
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Q代数学の質問です(偶置換と奇置換の判別)

よろしくお願いします。

[1234567]
σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)

となります。
これを、偶置換か奇置換かで判別したいのですが、この判別法が全然ピンときません。
基本互換の積がいくつあるかを求めるということはわかるのですが、その基本互換の積がどんな法則で求まるのかが分かりません。

いろいろと、ネットを調べてみると、逆転数というものに着目する方法もあるらしいことがわかりました。
これに従うと、
σ(5)より右側で5よりも大きい数の個数
σ(3)より右側で3よりも大きい数の個数
……
といった数え上げを行い、それが奇数になるか偶数になるかという機会的な方法で求まるらしいです。
そうすると、14個あるので、これは偶置換になると思うのですが、テキストにも乗っていないので、この方法は信用していいのか分からないです。

つきましては、次の二点を教えてください。

(1)上の問題が偶置換か奇置換かを判別する方法とその説明
(2)逆転数に着目するという方法が正答かどうか

お手数ですが、よろしくお願いします。

よろしくお願いします。

[1234567]
σ(5) σ(3) σ(1) σ(2) σ(4)σ(7)σ(6)

となります。
これを、偶置換か奇置換かで判別したいのですが、この判別法が全然ピンときません。
基本互換の積がいくつあるかを求めるということはわかるのですが、その基本互換の積がどんな法則で求まるのかが分かりません。

いろいろと、ネットを調べてみると、逆転数というものに着目する方法もあるらしいことがわかりました。
これに従うと、
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書き方が変ですが
[ 1234567 ]
[ 5312476 ]

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互換で置換を進めると

1234567

5234167
5324167
5314267
5312467
5312476

5回なので奇置換です。左から正しい数をつめてゆくだけ
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以上で、問題の解答としては正解でしょうか。
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Aベストアンサー

ごめん。ミスった。

単位元と位数2の元以外では、元xとその逆元x^-1とで余ることなく対をつくることができるので、
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最初の文がうまく書けない。

Q代数学の質問です[準同型定理]

次の問題が与えられています。

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(2)φの像と核を求めよ。
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このうち、(1)と(2)は解答できました。
そして(3)に入ったのですが、理解するのが難しいです。

「どのようなことがわかるか」
これはつまり、「どうして準同型定理を適用するのか」を聞いているのだと思います。
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よろしくお願いします。

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この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば更なる意味や価値も見えてくるかもしれませんが, 少なくともこのような問題を解く段階で出題者がそんなことを要求するとは思われません)

※これは余談ですが, 念の為, 一点前の質問に関連して, 初学者向けの注意をしておきます. 前回も二項演算が重要だというようなことを書きましたが, 群は集合と二項演算の組ですから, 本来は上の同型も Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} ではなく (Z/4Z, +) ~= ({1,i,-1,-i}, ⋅) というように群の演算を明記した上で書くべきです. ですが, 一々演算を明記するのは面倒だし, たいていは文脈から判断できるので, 省略して Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} というふうに書くことが多いのです.

この問は単に Z / Kerφ ~= Imageφ (~= は同型, Kerφ は φ の核, Imageφ は φ の像) の Kerφ と Imageφ の箇所に (2) で求めたものを実際に当てはめることを要求しているだけのような気がします. まあ, (2) は解答できたとのことなのでストレートに書いてしまうと, 要は Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という答えを求めているのではないでしょうか.

ちなみに, 意味や価値については, 今回の場合 Z/4Z ~= {1,i,-1,-i} という同型が得られたことそれ自体が価値だと考えておけばいいかと思います. (もっと高度な数学をやれば...続きを読む

Q代数学の質問です[準同型写像の証明]

次の問題が与えられています。

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どうしたら良いのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

群準同型について考えるときは, 「群の二項演算は何であるか?」ということが重要です.

今回の場合
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です. したがって, 示すべきことがらは
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Q標準正規分布のモーメント母関数

標準正規分布のモーメント母関数を計算した、3次モーメントと4次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

モーメント母関数をM(t)とすると、モーメント母関数の定義により、M(t)=E(exp(tX))です。ただし、Xは、標準正規分布に従う確率変数で、E( )は、平均値を表すとします。実際に計算すると、

M(t) = exp(t^2/2)

となります(添付図参照)。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。

M'(t) = t・exp(t^2/2)
M''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2)

よって、

0回りの3次モーメント = M'''(0) = 0
0回りの4次モーメント = M''''(0) = 3

となります。

Q【代数学】可換群の証明

【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在

①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。

【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。

Aベストアンサー

質問者は問題の意図を完全に理解していません。

問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。

Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。

ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2

質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。

x(yx)y=x^2y^2

この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
xy=yx
が得られるはずです。

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む


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