クラスの人数と平均点のみから標準偏差や偏差値を求めることはできるか

お願いします。

複数のクラスでテストを実施しました。
各クラスの人数と、クラスの平均点はわかります。個々の点数はわかりません。
この場合、標準偏差を求めることはできるでしょうか。
可能な場合、どのようにして求めるのでしょうか。
(テストを受けた人たちは、以下のクラスで全員となります)

Aクラス：15人、平均76点
Bクラス：20人、平均72点
Cクラス：25人、平均78点
Dクラス：30人、平均67点
Eクラス：10人、平均70点

全員の平均は72.4になります

エクセルで上記の数値をSTDEVPすると約3.97となります。
しかし、各クラスの人数が異なるのにこの計算式でやってしまって良いのか気になります。たぶんダメですよね。

しかし個々の点数がわからないのですから、仮にAクラスには76点の人が15人(全員が76点)として、Bクラスには72点の人が20人にて・・・ということにして計算を勧めた方が、より正しい標準偏差が出せるでしょうか？

Aクラスは15人全員が、平均点に対して3.4ポイント高く、その総和(15人分)を2乗して2061という数字を出し・・・これを各クラスで集計して合計した17,820という値を、データ数(生徒全員)である100でわると、約13.34という標準偏差らしきものが出るのですが。。。

個々の点数がわからない場合、もっとも精度の高い標準偏差(らしきもの)を出すにはどうすればよいでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/19 09:23

No.2です。

No.2には「標準偏差の目安」と書きましたが、正確に言えば「目安にもならない」ものです。

「クラス全員がそのクラスの平均点を得点した」という仮定での「ヒストグラム」を書いてみれば分かります。
全員が「67～78点」の範囲内にプロットされるわけですから。そんな分布の「標準偏差」には意味がありません。

従って、現実的には「これで標準偏差もどきを求めても無駄である」ということを付記しておきます。

クラスの人数を加味した「学年全体の平均値」は正しい値なので、使えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

現実に当てはめて考えれば、たしかに意味がないですね。クラス平均を全体の平均と比較したり、自分の点数をクラス平均や全体平均と比較するのであれば意味がありますが、それまでのことですね。

お礼日時：2015/11/22 10:31

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/18 16:47

各個々人の点数が分からなければ、真の標準偏差は分かりません。

ただし、クラスごとの、あるいは各個人ごとの学年全体の平均からの標準偏差の「目安」を求めることはできます。

　前者は、各クラスを「１つの構成要素」として平均値、標準偏差を求めます（構成人数は考慮しない）。
　後者は、各クラスの人数の「重み」を付けて平均値、標準偏差を求めます。この場合には、「クラス全員がそのクラスの平均点を得点した」という仮定での計算になり、真の標準偏差ではなく、あくまで「目安」です。

　前者の場合には、
　　平均値：72.6
　　標準偏差：3.98
になります。この場合には、「平均値」は、人数で重みを付けない「５クラスの単純平均」にしないといけません。

　後者の場合には、100人分の合計得点から求めた
　　平均値：72.4
を用いて、
・Aクラスには76点の人が15人いるので、(76 - 72.4)^2 を15人分合計し、
・Bクラスにはには72点の人が20人いるので、(72 - 72.4)^2 を20人分合計し、
・・・
と100人分の「平均値との偏差の2乗」の合計を計算し、人数100人で割って「分散」を求め、その平方根をとって標準偏差を求めます。エクセルで計算してみると
　　標準偏差：4.37
になりました。
　平均点からの偏差の大きい「Cクラス：平均78点」が25人「Dクラス：平均67点」が30人もいるので、クラス単位の単純な標準偏差よりも大きくなりました。

　当然のことながら、クラスの人数を反映した「後者」のほうが、より実態に近いと言えると思いますが、クラス全員が平均値を得点したという仮定は、ばらつきを極めて「小さく」見積もっていることになるので、実際の標準偏差はもっと大きくなると推定できます。個々人の得点が分からない以上、あくまでひとつの「目安」に過ぎません。


＞Aクラスは15人全員が、平均点に対して3.4ポイント高く、その総和(15人分)を2乗して2061という数字を出し

→「その総和(15人分)を2乗」ではダメです。「個々人の平均値との偏差の2乗を総和」（この場合には「個々人の平均値との偏差の2乗」を15倍）にする必要があります。
　最終的に、「個々人の平均値との偏差の2乗」の100人分の総和を、人数の100で割ったものが「分散」であり（平均値からの偏差の２乗の平均）、その平方根が「標準偏差」になります。

No.1 回答者： haijin1996 回答日時： 2015/11/18 14:23

http://ja.wikihow.com/%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%81%8 …
平均点しかわからないなら個々の分散が算出できませんので、その情報のみで計算できるのはA~Eのそれぞれのクラスごとの標準偏差になります。「クラスの平均点」が対象となる数値ですので、クラス内の人数の大小は無関係です。
>その総和(15人分)を2乗して2061という数字を出し
対象はあくまでも「クラスの平均点」ですので、総和の必要はなく、3.4を二乗することになりますね。

最終的にクラスを比較するためなのだとしたら、平均点×人数で「そのクラスが取得した点数の合計」を対象とする方法もあります。

対象が「クラスの平均点」でも「クラスの取得点数合計」でも、対象が異なるなら精度の高い低いはありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
偏差値について、少しわかった気がします。
分布・分散から値を出すので、平均がわかっているだけでは正しい偏差値を出すことは最初から無理ですね。

お礼日時：2015/11/22 10:30