加重平均（重み付き平均）の標準偏差の求め方

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質問者：webster
質問日時：2007/02/28 13:25
回答数：4件

あるデータを統計処理しています。
加重平均（重み付き平均）を計算し、
その標準偏差を求めようとしています。
私はあまり統計に詳しくないので、
加重平均の標準偏差の求め方が分かりません。
どなたかご存知の方がおられましたら是非教えて下さい。
よろしくお願い致します。

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No.4ベストアンサー

回答者： Ishiwara
回答日時：2007/03/01 22:39

＃３です。

分散の具体的な求め方です。
「重み」は相対的なものですから、0.2 0.6 0.3 0.4 0.6 を 2 6 3 4 6 と読み替えても同じことです。
つまり、データが 30 30 21 21 21 21 21 21 40 40 40 25 25 25 25 18 18 18 18 18 18 の２１個だと考え、ふつうの方法で平均や分散を計算します。

ただし、データはあくまで５個しかないのですから、平均値や分散の信頼度を論じるときには「データが２１個もあるのだから、求めた値はそれだけ精度が高いのだ」などと考えると落とし穴にはまりますよ。

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
いろいろ勉強になりました。
加重平均の分散を求めるのはなかなか難しいのですね。

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お礼日時：2007/03/01 23:00

No.3

回答者： Ishiwara
回答日時：2007/03/01 14:21

＃２さんの言われるとおり、加重平均の値だけから、加重標準偏差は出せません。

もとのデータまでさかのぼる必要があります。
考え方は単純です。
５という１個の値のデータに３という重みがついていたら、５というデータが３個あったとみなして標準偏差を計算してください。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
私が現在処理しているデータの重みは、全て1以下の数字です。
したがって、標準偏差の計算の際、nを求めますが、
これをどの様に求めればよいのか分かりません。
例えば、
データ　重み
30　　　0.2
21　　　0.6
40　　　0.3
25　　　0.4
18　　　0.6
の加重平均は約24となりますが、
この加重平均の標準偏差はどのようになるのでしょうか？
もし、宜しければご教授下さい。
よろしくお願い致します。

補足日時：2007/03/01 15:40

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No.2

回答者： himara-hus
回答日時：2007/03/01 11:51

加重平均されているということですが、加重平均から単純に標準偏差は出ません。

標準偏差は、ばらつき（分散）具合ですから、データのばらつきが要ります。
どういう重み付けをするのかわかりませんが、個々のデータに重み付けをしたデータで標準偏差を出すことになると思います。
例えば、あるデータの集合に対してはそのまま使うが、あるデータ集団に対してはそのデータ数をそれぞれ３倍にするとか。

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No.1

回答者： connykelly
回答日時：2007/02/28 15:47

ここ↓

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87% …
とここ↓
http://vsop.mtk.nao.ac.jp/~kameno/MODELFIT/avera …
をご覧になられるといいでしょう。

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「E(a) = Σ((ε[j])/σ[j])^2) (Σはj=1,2,…,Nについての総和、^2は二乗）
とするとき、E(a)が最小になるようにaを決定する。」
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　ただし、そういう工夫をすると、算出したaの意味は[1][2]のような単純なものではなくなってしまいますし、「恣意的にデータの選別をしたのではないか。気に入らないデータを無視し都合の良いものだけを選んで計算したイカサマの数値じゃないか」という批判が可能で、このため客観的結果とは言えなくなります。

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●|ε[j]|>2b なら重みを0にする。さもなくば重みを1にする。
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とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか？

...続きを読む

Aベストアンサー

＞　平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
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＞　μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
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μ3 = μ1 + μ2
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また、X, Y が互いに独立であれば（それらの分布によらず）、
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が成立します。（このとき Z = X + Y の「標準偏差」σ3 は、σ3 = √( (σ1)^2 + (σ2)^2 ) ）

＞　f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}
＞　が答えだと思っているのですが
X, Y が互いに独立な確率変数であり、共に正規分布に従うならば、X + Y もまた正規分布に従うという事実は確かにありますが、これは正規分布の「再生性」と呼ばれる特別な性質であることを理解していなければなりません。その点、大丈夫ですか？

＞　それとは別のやり方で
＞　f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
＞　f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。
上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。
案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。
f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}
g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}
h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt
　　= 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt
　　epx( ) の指数部を t で平方完成して
　　= 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt
　　= 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt
　　= 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) }
　　（∵ ∫ exp ( - (t - A)^2 / 2B^2 ) dt = √(2π) B ）
μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば
h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 )
途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。

なお、本件は確率論において、ごくごく基本的な事項です。
もし、これから確率統計を使って研究をされるのならば、このような件を簡単に質問して済ませるのは危うい感じがします。ちゃんと書籍を読まれ、その上で質問されるのが宜しいでしょう。

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統計の「と」の字も理解していない者ですが、
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わかりやすく教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

> この統計を調べたいときはこれぐらいのサンプル数があれば信頼できる・・・
　調べたいどの集団でも、ある一定数以上なら信頼できるというような決まりはありません。
　何かサンプルを集め、それをなんかの傾向があるかどうかという仮説を検証するために統計学的検定を行って、仮設が否定されるかされないかを調べる中で、どの検定方法を使うかで、最低限必要なサンプル数というのはあります。また、集めたサンプルを何か基準とすべき別のサンプルと比べる検定して、基準のサンプルと統計上差を出すに必要なサンプル数は、比べる検定手法により計算できるものもあります。
　最低限必要なサンプル数ということでは、例えば、ある集団から、ある条件で抽出したサンプルと、条件付けをしないで抽出したサンプル(比べるための基準となるサンプル)を比較するときに、そのサンプルの分布が正規分布(正規分布解説:身長を5cmきざみでグループ分けし、低いグループから順に並べたときに、日本人男子の身長なら170cm前後のグループの人数が最も多く、それよりも高い人のグループと低い人のグループの人数は、170cmのグループから離れるほど人数が減ってくるような集団の分布様式)でない分布形態で、しかし分布の形は双方とも同じような場合「Wilcoxon符号順位検定」という検定手法で検定することができますが、この検定手法は、サンプルデータに同じ値を含まずに最低６つのサンプル数が必要になります。それ以下では、いくらデータに差があるように見えても検定で差を検出できません。
　また、統計上差を出すのに必要なサンプル数の例では、Ａ国とＢ国のそれぞれの成人男子の身長サンプルがともに正規分布、または正規分布と仮定した場合に「ｔ検定」という検定手法で検定することができますが、このときにはその分布を差がないのにあると間違える確率と、差があるのにないと間違える確率の許容値を自分で決めた上で、そのサンプルの分布の値のばらつき具合から、計算して求めることができます。ただし、その計算は、現実に集めたそれぞれのサンプル間で生じた平均値の差や分布のばらつき具合(分散値)、どのくらいの程度で判定を間違える可能性がどこまで許されるかなどの条件から、サンプル間で差があると認められるために必要なサンプル数ですから、まったく同じデータを集めた場合でない限り、計算上算出された(差を出すために)必要なサンプル数だけサンプルデータを集めれば、差があると判定されます(すなわち、サンプルを無制限に集めることができれば、だいたい差が出るという判定となる)。よって、集めるサンプルの種類により、計算上出された(差を出すために)必要なサンプル数が現実的に妥当なものか、そうでないのかを、最終的には人間が判断することになります。

　具体的に例示してみましょう。
　ある集団からランダムに集めたデータが15,12,18,12,22,13,21,12,17,15,19、もう一方のデータが22,21,25,24,24,18,18,26,21,27,25としましょう。一見すると後者のほうが値が大きく、前者と差があるように見えます。そこで、差を検定するために、t検定を行います。結果として計算上差があり、前者と後者は計算上差がないのにあると間違えて判断する可能性の許容値(有意確率)何%の確率で差があるといえます。常識的に考えても、これだけのサンプル数で差があると計算されたのだから、差があると判断しても差し支えないだろうと判断できます。
　ちなみにこの場合の差が出るための必要サンプル数は、有意確率５％、検出力0.8とした場合に5.7299、つまりそれぞれの集団で6つ以上サンプルを集めれば、差を出せるのです。一方、サンプルが、15,12,18,12,21,20,21,25,24,19の集団と、22,21125,24,24,15,12,18,12,22の集団ではどうでしょう。有意確率5%で差があるとはいえない結果になります。この場合に、このサンプルの分布様式で拾い出して差を出すために必要なサンプル数は551.33となり、552個もサンプルを抽出しないと差が出ないことになります。この計算上の必要サンプル数がこのくらい調査しないといけないものならば、必要サンプル数以上のサンプルを集めて調べなければなりませんし、これだけの数を集める必要がない、もしくは集めることが困難な場合は差があるとはいえないという判断をすることになるかと思います。

　一方、支持率調査や視聴率調査などの場合、比べるべき基準の対象がありません。その場合は、サンプル数が少ないレベルで予備調査を行い、さらにもう少しサンプル数を増やして予備調査を行いを何回か繰り返し、それぞれの調査でサンプルの分布形やその他検討するべき指数を計算し、これ以上集計をとってもデータのばらつきや変化が許容範囲(小数点何桁レベルの誤差)に納まるようなサンプル数を算出していると考えます。テレビ視聴率調査は関東では300件のサンプル数程度と聞いていますが、調査会社ではサンプルのとり方がなるべく関東在住の家庭構成と年齢層、性別などの割合が同じになるように、また、サンプルをとる地域の人口分布が同じ割合になるようにサンプル抽出条件を整えた上で、ランダムに抽出しているため、数千万人いる関東の本当の視聴率を割合反映して出しているそうです。これはすでに必要サンプル数の割り出し方がノウハウとして知られていますが、未知の調査項目では必要サンプル数を導き出すためには試行錯誤で適切と判断できる数をひたすら調査するしかないかと思います。

> どのような評価基準をもって客観的に信頼できると判断・・・
　例えば、工場で作られるネジの直径などは、まったくばらつきなくぴったり想定した直径のネジを作ることはきわめて困難です。多少の大きさのばらつきが生じてしまいます。1mm違っても規格外品となります。工場では企画外品をなるべく出さないように、統計を取って、ネジの直径のばらつき具合を調べ、製造工程をチェックして、不良品の出る確率を下げようとします。しかし、製品をすべて調べるわけにはいきません。そこで、調べるのに最低限必要なサンプル数を調査と計算を重ねてチェックしていきます。
　一方、農場で生産されたネギの直径は、1mmくらいの差ならほぼ同じロットとして扱われます。また、農産物は年や品種の違いにより生育に差が出やすく、そもそも規格はネジに比べて相当ばらつき具合の許容範囲が広くなっています。ネジに対してネギのような検査を行っていたのでは信頼性が損なわれます。
　そもそも、統計学的検定は客観的判断基準の一指針ではあっても絶対的な評価になりません。あくまでも最終的に判断するのは人間であって、それも、サンプルの質や検証する精度によって、必要サンプルは変わるのです。

　あと、お礼の欄にあった専門家：統計学者とありましたが、統計学者が指摘できるのはあくまでもそのサンプルに対して適切な検定を使って正しい計算を行ったかだけで、たとえ適切な検定手法で導き出された結果であっても、それが妥当か否か判断することは難しいと思います。そのサンプルが、何を示し、何を解き明かし、何に利用されるかで信頼度は変化するからです。
　ただ、経験則上指標的なものはあります。正規分布を示すサンプルなら、20～30のサンプル数があれば検定上差し支えない(それ以下でも問題ない場合もある)とか、正規分布でないサンプルは最低６～８のサンプル数が必要とか、厳密さを要求される調査であれば50くらいのサンプル数が必要であろうとかです。でも、あくまでも指標です。

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Qパーセンテージの平均の出し方は？

１月：９０％
２月：９０％
３月：８６％

１月～３月までの平均のパーセンテージは？
という時に、（９０＋９０＋８６）÷３
という計算方法が間違いである理由がどうしてもわからないのですが、わかりやすく教えていただけませんか？

宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

はじめまして。
単純に割合の平均は求めてはいけません。
割合は全体に対するものです。
例えば
１月
本が１００冊売れた。　漫画本はその内５０冊。
（漫画本の割合は５０％ですよね）
２月
本が１０冊売れた。　漫画本はその内１０冊。
（漫画本の割合は１００％ですよね）
３月
本が１０００冊売れた。　漫画本はその内０冊。
（漫画本の割合は０％ですよね）

さて、１・２・３月トータルで漫画本の割合は
（５０＋１００＋０）／３＝５０でいいのでしょうか？
本当にトータルで５０％も漫画...続きを読む

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Q統計＿重みを計算で出すこと

カテゴリーが４つ（たとえばＡＢＣＤ）あり、Ａの下位分類にa1 a2があるとします。ＢＣＤについてもそれぞれ下位分類がb1 b2、c1 c2、d1 d2のように２つずつあります。
データ総数が７５２９個で、各カテゴリーが次のように分布しているとき、重みを求めるにはどうすればいいのでしょうか。

カテゴリー１系列の実数割合重み
Ａ a1=121/168 72% ?
Ｂ b1=3200/5459 59% ?
Ｃ c1=653/1418 46% ?
Ｄ d1=172/484 36% ?

表がうまく表れませんが、「カ...続きを読む

Aベストアンサー

＃２の補足ありがとうございます．

カテゴリーごとの(数学的)意味が分かっていなかったのですが，補足のおかげで少し前進しました．

例えば，カテゴリーAはBに比べて現れるデータ数が少ないから重要度が低いといった意味ではなく，
「疑問詞」「普通名詞」「代名詞」「名詞節」という種類ごとに「zero形」の出現割合(確率)を比較するという話のようですね．

＃２の考え（試算）では
各カテゴリーごとの割合，72％，59％，46％，36％を単純に平均して53.25％ですが，これにはいちおう意味があって，(カテゴリーを区別しないときの)全使用数中での平均出現確率が53.25％ということです．

そうすると，＃２で書いた形式的試算は次のような意味があります．

全体平均の出現確率（約53％）を基準(0.5＝50％に換算)として，各カテゴリーではそれぞれどのくらい基準(全体平均)よりも出現確率が高いかそれとも低いかの「相対的な重み」を表します．

つまり，＃２によれば
４つの単純平均は，詳しくやると
M＝53.06％で，
P(a1)／2M＝0.679 （←平均よりもかなり高い）
P(b1)／2M＝0.552 （←平均よりも少し高い）
P(c1)／2M＝0.434 （←平均よりもやや低い）
P(d1)／2M＝0.335 （←平均よりもかなり低い）

というように，単純な絶対的出現確率を見るのでなく，平均的使用率に比べて相対的に現れる率が高いか低いかを見るためのものではないでしょうか．
(補足の値と比べると誤差にしてもややずれが気になりますが，原因は分かりません．いちおう話が正しい信じて進みます．)

例えば全体平均が80％ならば72％は高いとは言えないが，
全体平均が53％ならば72％は高いと言える．
といったように，相対比較のために換算したのではないでしょうか．
ただし，するとなぜ基準を0.5にとったのかは不明です．
（論理的には，平均を１＝100％としてもいい．でもまあ，偏差値も平均を50にとって基準値としますから，ご研究の分野での習慣かも知れません．）

ただし，上の話では全体平均として，４つのカテゴリーを全て対等の重みで扱って，
72％，59％，46％，36％を単純に平均して53.25％
としましたが，もう一つ可能性があって，

各カテゴリーの使用頻度を反映させた加重平均を全体平均の値として採用すると，
(121＋3200＋653＋172)／7529×100＝55.07％
で，これは用例が多いBの値によって主に決まってしまいます．

これを用いると
M＝55.07％で，
P(a1)／2M＝0.654
P(b1)／2M＝0.532
P(c1)／2M＝0.418
P(d1)／2M＝0.323
となります．

これも細かくみるといくらかずれていて，悩ましいです．
ともあれ結論としては，適切な平均値に対する，相対的な重みのようです．
どの平均値を使っているのかはどうぞご検討下さい．