標準偏差の平均値の求め方

二つの標準偏差σaとσbがあったとします。
このとき両者の平均値は(σa+σb)/2ではなく、
SQRT((σa^2+σb^2)/2)
となるらしいのですがどうして単純に足して割るだけではだめなのでしょうか？

No.3 回答者： LHS07 回答日時： 2011/07/21 16:05

σaのサンプル数が100で

σbのサンプル数が10だったら

単純に標準偏差の相加平均ではむりでしょう。

サンプル数が大きいほうが重みがあるのです。

aのサンプル数が１００　σaが　５０で
bのサンプル数が　１０　σbが　５で

σ　が２７．５はおかしくないですか？

No.2 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/16 02:33

文脈がはっきりしませんが、

この場合の「標準偏差」が、同一の母集団からとられた独立な
２つの標本の標準偏差のことを指しているとすれば、
この場合の「平均値」とは、両方の標本を一つに合わせたときの
分散の平均値と考えるのが普通です。標準偏差はその結果の平方根
をとったものにすぎず、決して標準偏差自体の平均ではありません。
さらに、その場合に両方のサンプルサイズが同じであれば、平均は
SQRT((σa^2+σb^2)/2)
になります。しかし、この式は、以上のように、状況をはっきり
させないと、結論できないのです。
平均だから足して２で割ると安直に考えてはいけません。

統計の本で勉強されているのであれば、結論の式だけでなく
どういう条件を設定しているのかを、もう一度、確認してみることをお勧めします。

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/16 02:31

それは、「平均値」という言葉の意味の問題です。

二つの値 σa と σb に対して、(σa + σb) / 2 を「算術平均」、
√( (σa^2 + σb^2) / 2 ) を「二乗平均」と言います。
他にも、「○○平均」と名の付くものは、沢山あります。
その中で、特に断らなければ、算術平均のことを
単に「平均」と呼ぶ習慣になっているのです。

標準偏差について、算術平均ではなく二乗平均を求めるとウレシイのは、
二つの集団の平均値が共通で、標準偏差が一方は σa、他方は σb だとすると、
両者を併せて一つの集団としたとき、その標準偏差がσa と σb の二乗平均
になるからです。

σa と σb の(算術)平均は、あくまで (σa + σb) / 2 であって、
そのことに変わりはありません。