±4σに入る確率について教えてください

ウィキペディアの検索より、
確率変数XがN( μ, σ2)に従う時、平均 μ からのずれがσ以下の範囲にXが含まれる確率は68.26%、2σ以下だと95.44%、さらに3σだと99.74%となる。
と分かりました。

そこで
4σ、
5σ
6σ
の場合確率はどうなるか教えてください。
よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： BookerL 回答日時： 2007/10/22 14:25

Excel で NORMDIST を使い、平均 50、標準偏差 10 （いわゆる偏差値）で計算してみましたら、次のようになりました。

　σ　0.682689492137086
２σ　0.954499736103641
３σ　0.997300203936740
４σ　0.999936657516326
５σ　0.999999426696856
６σ　0.999999998026825
７σ　0.999999999997440
８σ　0.999999999999999
９σ　1.000000000000000

Excelの関数の精度がどの程度のものか分かりませんが、９σで100％になりました。

この回答へのお礼

早速のご回答有難うございました。とりあえず値が必要だったので、大変助かりました。またじっくり勉強させて頂きます。

お礼日時：2007/10/23 08:55

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2007/10/22 23:06

xが大きいとき正規分布の累積分布関数

　Φ(x) = (1/√(2π))∫exp(-t^2/2)dt
を計算するためには漸近展開
　Φ(x) = (1/x√(2π))exp(-x^2/2)[1 - 1/x^2 + 3/x^4 -5・3/x^6 +…]
によるのが便利です。これによると

３σ　0.9973250846
４σ　0.9999367279
５σ　0.99999942681611
６σ　0.99999999802693
７σ　0.99999999999744

となりました。誤差関数erf(x)=exp(-x^2/2)/√(2π)　の不定積分は初頭関数で表されないことは有名です。しかしその証明を知っている人は少ないのではないでしょうか。初等的な説明は
　Marchisotto,E. A. and Zakeri,G.;College Math. Jour.,25, 1994, 295

この回答へのお礼

ご回答有難うございました。とても専門的なご回答で心強く思います。またよろしくお願い致します。

お礼日時：2007/10/23 08:59