
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Excel で NORMDIST を使い、平均 50、標準偏差 10 (いわゆる偏差値)で計算してみましたら、次のようになりました。
σ 0.682689492137086
2σ 0.954499736103641
3σ 0.997300203936740
4σ 0.999936657516326
5σ 0.999999426696856
6σ 0.999999998026825
7σ 0.999999999997440
8σ 0.999999999999999
9σ 1.000000000000000
Excelの関数の精度がどの程度のものか分かりませんが、9σで100%になりました。
No.2
- 回答日時:
xが大きいとき正規分布の累積分布関数
Φ(x) = (1/√(2π))∫exp(-t^2/2)dt
を計算するためには漸近展開
Φ(x) = (1/x√(2π))exp(-x^2/2)[1 - 1/x^2 + 3/x^4 -5・3/x^6 +…]
によるのが便利です。これによると
3σ 0.9973250846
4σ 0.9999367279
5σ 0.99999942681611
6σ 0.99999999802693
7σ 0.99999999999744
となりました。誤差関数erf(x)=exp(-x^2/2)/√(2π) の不定積分は初頭関数で表されないことは有名です。しかしその証明を知っている人は少ないのではないでしょうか。初等的な説明は
Marchisotto,E. A. and Zakeri,G.;College Math. Jour.,25, 1994, 295
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