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お願いします。

複数のクラスでテストを実施しました。
各クラスの人数と、クラスの平均点はわかります。個々の点数はわかりません。
この場合、標準偏差を求めることはできるでしょうか。
可能な場合、どのようにして求めるのでしょうか。
(テストを受けた人たちは、以下のクラスで全員となります)

Aクラス:15人、平均76点
Bクラス:20人、平均72点
Cクラス:25人、平均78点
Dクラス:30人、平均67点
Eクラス:10人、平均70点

全員の平均は72.4になります

エクセルで上記の数値をSTDEVPすると約3.97となります。
しかし、各クラスの人数が異なるのにこの計算式でやってしまって良いのか気になります。たぶんダメですよね。

しかし個々の点数がわからないのですから、仮にAクラスには76点の人が15人(全員が76点)として、Bクラスには72点の人が20人にて・・・ということにして計算を勧めた方が、より正しい標準偏差が出せるでしょうか?

Aクラスは15人全員が、平均点に対して3.4ポイント高く、その総和(15人分)を2乗して2061という数字を出し・・・これを各クラスで集計して合計した17,820という値を、データ数(生徒全員)である100でわると、約13.34という標準偏差らしきものが出るのですが。。。

個々の点数がわからない場合、もっとも精度の高い標準偏差(らしきもの)を出すにはどうすればよいでしょうか?

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A 回答 (3件)

No.2です。

No.2には「標準偏差の目安」と書きましたが、正確に言えば「目安にもならない」ものです。

「クラス全員がそのクラスの平均点を得点した」という仮定での「ヒストグラム」を書いてみれば分かります。
全員が「67~78点」の範囲内にプロットされるわけですから。そんな分布の「標準偏差」には意味がありません。

従って、現実的には「これで標準偏差もどきを求めても無駄である」ということを付記しておきます。

クラスの人数を加味した「学年全体の平均値」は正しい値なので、使えます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

現実に当てはめて考えれば、たしかに意味がないですね。クラス平均を全体の平均と比較したり、自分の点数をクラス平均や全体平均と比較するのであれば意味がありますが、それまでのことですね。

お礼日時:2015/11/22 10:31

各個々人の点数が分からなければ、真の標準偏差は分かりません。



ただし、クラスごとの、あるいは各個人ごとの学年全体の平均からの標準偏差の「目安」を求めることはできます。

 前者は、各クラスを「1つの構成要素」として平均値、標準偏差を求めます(構成人数は考慮しない)。
 後者は、各クラスの人数の「重み」を付けて平均値、標準偏差を求めます。この場合には、「クラス全員がそのクラスの平均点を得点した」という仮定での計算になり、真の標準偏差ではなく、あくまで「目安」です。

 前者の場合には、
  平均値:72.6
  標準偏差:3.98
になります。この場合には、「平均値」は、人数で重みを付けない「5クラスの単純平均」にしないといけません。

 後者の場合には、100人分の合計得点から求めた
  平均値:72.4
を用いて、
・Aクラスには76点の人が15人いるので、(76 - 72.4)^2 を15人分合計し、
・Bクラスにはには72点の人が20人いるので、(72 - 72.4)^2 を20人分合計し、
・・・
と100人分の「平均値との偏差の2乗」の合計を計算し、人数100人で割って「分散」を求め、その平方根をとって標準偏差を求めます。エクセルで計算してみると
  標準偏差:4.37
になりました。
 平均点からの偏差の大きい「Cクラス:平均78点」が25人「Dクラス:平均67点」が30人もいるので、クラス単位の単純な標準偏差よりも大きくなりました。

 当然のことながら、クラスの人数を反映した「後者」のほうが、より実態に近いと言えると思いますが、クラス全員が平均値を得点したという仮定は、ばらつきを極めて「小さく」見積もっていることになるので、実際の標準偏差はもっと大きくなると推定できます。個々人の得点が分からない以上、あくまでひとつの「目安」に過ぎません。


>Aクラスは15人全員が、平均点に対して3.4ポイント高く、その総和(15人分)を2乗して2061という数字を出し

→「その総和(15人分)を2乗」ではダメです。「個々人の平均値との偏差の2乗を総和」(この場合には「個々人の平均値との偏差の2乗」を15倍)にする必要があります。
 最終的に、「個々人の平均値との偏差の2乗」の100人分の総和を、人数の100で割ったものが「分散」であり(平均値からの偏差の2乗の平均)、その平方根が「標準偏差」になります。
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http://ja.wikihow.com/%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%81%8 …
平均点しかわからないなら個々の分散が算出できませんので、その情報のみで計算できるのはA~Eのそれぞれのクラスごとの標準偏差になります。「クラスの平均点」が対象となる数値ですので、クラス内の人数の大小は無関係です。
>その総和(15人分)を2乗して2061という数字を出し
対象はあくまでも「クラスの平均点」ですので、総和の必要はなく、3.4を二乗することになりますね。

最終的にクラスを比較するためなのだとしたら、平均点×人数で「そのクラスが取得した点数の合計」を対象とする方法もあります。

対象が「クラスの平均点」でも「クラスの取得点数合計」でも、対象が異なるなら精度の高い低いはありません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
偏差値について、少しわかった気がします。
分布・分散から値を出すので、平均がわかっているだけでは正しい偏差値を出すことは最初から無理ですね。

お礼日時:2015/11/22 10:30

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(例)
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 もし標準偏差が5点なら55点~65点の範囲に受験生の68%がおり、50点~70点の範囲には95%の受験生がいることになりますので、このときの70点なら上位3%のところにいることがわかります。つまり、平均点から標準偏差の2倍だけ離れておれば、上位3%のところにいる、ということです。

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 ほんとはこれだけでいいのですが、「平均点からのずれが標準偏差の0.6倍」とかいってもわかりにくいと思ったある中学校の先生が、今使われている「偏差値」という表し方を考えました。
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 偏差値が60→平均点から標準偏差の分だけ高い→集団の上位16%

などということになります。


>どうやって偏差値の公式、 偏差値=(得点ー平均点)÷標準偏差×10+50 を導き出したのでしょう? >また、どうしてこの公式なのでしょう?

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http://www.stockage2002.com/archives/category/%E5%81%8F%E5%B7%AE%E5%80%A4%E3%81%A3%E3%81%A6%EF%BC%9F

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 正規分布の性質
 ───────
 平均(μ)を中心として、±1標準偏差(σ) で挟まれた部分の面積:
 0.3413×2=68.26%


N     :正規分布(Normal distribution)
N(μ,σ^2):平均μ、標準偏差σの正規分布を表す

  N(60,5^2)    /⌒\
         / │ \
        /  │  \
        /   ├←─→┤
       │   │σ= 1 │
       │   │   │
       /    │    (  面積(S)=0.3413
      /    │ (S) │\ (σ= 0~1)
     /     │   │ \
 ___/      │   ↓  \____
 ──┬───┬───┬───┬───┬───
   -2   -1   0  σ=1   2   → (σ)
   50   55   60   65   70   → (Kg)
          平均μ

つまり、

 μ±1.0 σ:68.26 %
 μ±1.96σ:95.00 %  ←※
 μ±2.00σ:95.44 %  ←※
 μ±3.00σ:99.73 %

であるので、

---------------------------------------------------------------------------------
(計算)
・平均(60kg) ± 1.00σ(5kg×1.00) = 60± 5.0 Kg は、100人×0.6826=68.26≒ 68人
※平均(60kg) ± 1.96σ(5kg×1.96) = 60± 9.8 Kg は、100人×0.9500    = 95人
※平均(60kg) ± 2.00σ(5kg×2.00) = 60±10.0 Kg は、100人×0.9544=95.44≒ 95人
・平均(60kg) ± 3.00σ(5kg×3.00) = 60±15.0 Kg は、100人×0.9973=99.73≒100人


(回答案)
・60kg 以下の人:(100- 0.00)/2=50.00=50人
・55kg 以下の人:(100-68.26)/2=15.87≒16人
※50kg 以下の人:(100-95.00)/2= 2.50≒ 3人
※50kg 以下の人:(100-95.44)/2= 2.28≒ 2人
・45kg 以下の人:(100-99.73)/2= 0.27≒ 0人

※※ 2σ= 95% としている場合は、50kg 以下の人は、約3人
 

 正規分布の性質
 ───────
 平均(μ)を中心として、±1標準偏差(σ) で挟まれた部分の面積:
 0.3413×2=68.26%


N     :正規分布(Normal distribution)
N(μ,σ^2):平均μ、標準偏差σの正規分布を表す

  N(60,5^2)    /⌒\
         / │ \
        /  │  \
        /   ├←─→┤
       │   │σ= 1 │
       │   │   │
       /    │    (  面積(S)=0.3413
      /    │ (S) │\ (σ= 0~...続きを読む

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2000人の試験で偏差値42の場合、試験得点は正規分布になることがわかっているとき、この者の順位はどのように求めたらよいのでしょうか。

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 どうやら、ANo.4は的を外してるようです。「標準偏差が小さい」というのは学力の分布のことではなくて、専ら試験の性能に関するご質問なのですね?

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 さて、標準偏差がやたら小さい試験は、易しすぎる問題と難しすぎる問題だけでできている(問1.1+1=? 問2.フェルマーの最終定理を証明せよ)に違いありません。実力の違いを測っていない試験だということであり、標準偏差が小さいのは適切な試験ではない。
 じゃあ、標準偏差が大きければいいのか。問題数が少なくて、しかも運に頼るしかないような試験(問1.コインをトスして表か裏かを選べ。どっちかが正解である。)であっても、標準偏差が大きくなります。たとえば、運に頼るしかない2択問題を10個並べれば、成績は平均が50点、標準偏差が15点ぐらいの正規分布になります(大数の法則)。
 なので、成績の分布が綺麗だからと言って、それだけじゃ試験が妥当な(実力を測っている)ものだとは言えない。

 結果を使って受験者を分別する側からすれば、リクツの上では、得点の分布が一様分布になるのが理想的(最も分解能が高い)と言えましょう。さらに得点が学力を反映していることが望ましい。
 すると、各受験者の「学力」が1個の数値xで代表できるようなものであると仮定すれば(データを見ると、この仮定は残念ながらかなり真実に近いのですが)、xの分布を一様分布に写像するような試験が理想的ということです。そういう試験は
(1) 運で答を当てるということは滅多にできず(選択式の問題でこれを実現するには、同じレベルの問題をいくつも並べておけば良いのです)、
(2) 問題数はとても多く、
(3) ごく易しい問題からかなり難しい問題まで揃っていて、
(4) うんと難しい問題や、うんと易しい問題に比べ、中間の難しさの問題の個数が多い。
(5) 試験時間は十分に余裕があって、早く解けるかどうかは成績にあまり関係ない。
という特徴を持つでしょう。

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Qエクセルでの複数条件下での標準偏差の求め方

教えてください。エクセル2007を使用しています。僕はエクセル初心者ではありませんが、玄人でもない中級者くらいだと思います。早速ですが、例えばA列に男か女かの性別、B列に日本、アメリカなどの国籍、C列に東京、フロリダなどの州、県、D列に右利きか左効きか、E列に年齢が書いてある表において、「男、日本、埼玉、右利き」の人の「年齢」の「標準偏差(STDEV)」を求めようとしたとき、計算する方法がわかりません。ソートをかけて求める方法も考えましたが、内容や位置がコロコロ変わるため、向いていないと思ってます。平均値ならAVERAGEIFSで出せますし、合計ならSUMIFSがあると思います。1つの条件(たとえば、「日本」の「年齢」の標準偏差)ならば、なんとかできますが、このような場合の関数はあるのでしょうか?もしなければ、どのように算出するのか教えて頂ければありがたいです。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

方法1:
=STDEV(IF((A1:A100="男")*(B1:B100="日本")*(C1:C100="東京")*(D1:D100="左"),E1:E100))
と数式バーに記入して,コントロールキーとシフトキーを押しながらEnterで入力します


方法2:
STDEVの基本式
=SQRT((N*Σ(x^2)-(Σx)^2)/(N*(N-1)))
で計算します(関数のヘルプを参照の事)

NはCOUNTIFS関数,ΣxはSUMIFS関数で計算できますが,Σ(x^2)については
=SUMPRODUCT((A1:A100="男")*(B1:B100="日本")*(C1:C100="東京")*(D1:D100="左"),E1:E100,E1:E100)
といった具合に求める必要があります。

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高校を決める目安にしようと、前回のテストから自分の偏差値をだしたいのですが、全教科の偏差値が103とか意味わからない数字になってしまいます(+_+)

(自分の点数-平均点)×10÷15+50

の式で求めて、五教科個々に求めると普通に求まったのですが全教科だとおかしいです。
点数は
社会 96 〔学年平均点52.4〕 (私が求めた偏差値は79)
国語 78 〔60.1〕(61)
数学 53 〔50.3〕 ( 45.5)
英語 64 〔50.6〕 (58.6)
理科 60 〔69.6〕 (46.2)
全体の点数 351点
学年の平均点 273.8点

でした。
どなたか正しいやり方を教えてくださいませんか?
または、厚かましいお願いで恐縮ですが計算していただけるととても有り難いです。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>標準偏差、は調べ方を調べた際に高校は大体15くらいで考える、
>と載っていたので大体で良いや、と思い15で計算した次第です。

100点満点のテストなら、平均点±15くらいに散らばると考えて、
そんなに違和感はないので、標準偏差をそのくらいで考えても、
そんなにおかしな計算結果にはならなかったのでしょう。

でも、全教科つまり五教科合計なら満点は、5倍の500点です。
ですから当然、点数の散らばり具合も5倍くらいになるでしょう。
ということは、標準偏差は75で計算しないといけないでしょう。
15で計算したからおかしな結果になったのです。

再度、回答しますが、
標準偏差は、全員の点数が分からないと計算できません。
適当な数字を仮定して、それらしい計算結果になったからと言って
それが正しいという保証は無いということを理解しましょう。

Qサンプル数の異なる2群間におけるT検定について

サンプル数の異なる(50,15)2群間の身長の比較を行うのに、T検定をするよう指示を受けました。これは、長男と次男での出産時の身長に差があるかを調べるためですが、長男50人分と次男15人分(母親は異なる)のデータのため、サンプル数が違います。またT検定は私の理解では平均の比較(2群の場合)を行うものであるため、平均ではないこれらにどうしてT検定が良いのか、また統計ソフト(STATISTICAかエクセル)を使う場合にどのようにデータを入力すれば良いのかわかりません。
どなたかご存知の方がいらっしゃればアドバイスをいただけたらうれしいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>平均ではないこれらにどうしてT検定が良いのか
 t検定は、2つの集団の平均値の差について検定する、すなわち、有意差があるかどうかを判定します。平均ではないように見えても、検定の計算式の中に、2群の平均値を用いています。
 ただ、前提時要件があって、2群が正規分布していることが必要です。サンプルを選んだときに、無作為抽出していたり、サンプル数が1000ほどあれば、正規分布を想定できます。

 検定法は、どの方法を選ぶかは、研究者の自由です。わたしがt検定を多用するのは、正規分布を想定でき、計算式が分かりやすく、サンプル数が2群で異なっても良い、その数も少なくて良い(大差があるので、1群3例でも有意差をだしています)、そして有意差が出やすいからです。

 この場合は、正規分布しているという条件を満たしているとはいえないだろうと判断します。その場合は、F検定をしてください。これは、2群の平均値ではなく、バラツキによって検定する方法です。正規分布している必要は無いとされています。
 F検定で有意差があれば、問題ありません。t検定では有、F検定ではなし、になると方針が定まりませんが(現在このデータで悩んでいます)。

>どのようにデータを入力すれば良いのか
 t検定を指示した人は、身近にいないのでしょうか。その人に訊くのが一番です。身近にいないのなら、いないと返答があれば、書き込みますが。 というのも、大学などの研究テーマだと、指導教員をさしおいて、はマズイノデ。もしも、このテーマに興味を持てば、私が実施して先に発表します。こんな研究内容がハッキリ分かる書き込みを4年生がやったら、研究室は追放ですね。
 長男、次男だけではなく、三男、四男となると多重比較という方法になります。この場合、H検定(エクセルだけでは無理でしょう)を使います。

>平均ではないこれらにどうしてT検定が良いのか
 t検定は、2つの集団の平均値の差について検定する、すなわち、有意差があるかどうかを判定します。平均ではないように見えても、検定の計算式の中に、2群の平均値を用いています。
 ただ、前提時要件があって、2群が正規分布していることが必要です。サンプルを選んだときに、無作為抽出していたり、サンプル数が1000ほどあれば、正規分布を想定できます。

 検定法は、どの方法を選ぶかは、研究者の自由です。わたしがt検定を多用するのは、正規分布を想...続きを読む

Q加重平均と平均の違い

加重平均と平均の違いってなんですか?
値が同じになることが多いような気がするんですけど・・・
わかりやす~い例で教えてください。

Aベストアンサー

例えば,テストをやって,A組の平均点80点,B組70点,C組60点だったとします.
全体の平均は70点!・・・これが単純な平均ですね.
クラスごとの人数が全く同じなら問題ないし,
わずかに違う程度なら誤差も少ないです.

ところが,A組100人,B組50人,C組10人だったら?
これで「平均70点」と言われたら,A組の生徒は文句を言いますよね.
そこで,クラスごとに重みをつけ,
(80×100+70×50+60×10)÷(100+50+10)=75.6
とやって求めるのが「加重平均」です.

Qこの成績で偏差値63の公立高校は無理?

通塾してない中2の娘は、偏差値63の公立進学校を志望しています。
中1、3学期の、成績表は5教科23。9教科39でした。
定期テストは学年230名の中学校で平均40番でした。
得意科目は、英、数。やや点を取れない科目は理、社で、
この2教科が、学年順位を下げています。

2年1学期の定期テストは、5教科計206点、学年順位43番。
2年夏休み明け実力は、5教科計194点、学年順位38番でした。

2年1学期に受けた塾の模試は偏差値59でした。

質問は、これから塾に行き頑張るとして
偏差値63の公立高校は、可能性があるかというものです。
言い訳のようですが、塾に行き効率の良い学習指導を受ければ
私は、少しは競争もあるし成績がわずかながら上向くのではと思うのです。
でも塾に行ったからといって上がるわけは無く
塾+本人の努力とやる気だと思いますが。

偏差値59ぐらいの子が偏差値を63まで上げるのは
奇跡に近いと言われました。
やはりそうなのでしょうか?
最初から、無理なのでしょうか?
やはり偏差値63の公立の進学校に行く人は、
最初から、偏差値65ぐらいある人ばかりなのですか?
アドバイス、よろしくお願いします。

通塾してない中2の娘は、偏差値63の公立進学校を志望しています。
中1、3学期の、成績表は5教科23。9教科39でした。
定期テストは学年230名の中学校で平均40番でした。
得意科目は、英、数。やや点を取れない科目は理、社で、
この2教科が、学年順位を下げています。

2年1学期の定期テストは、5教科計206点、学年順位43番。
2年夏休み明け実力は、5教科計194点、学年順位38番でした。

2年1学期に受けた塾の模試は偏差値59でした。

質問は、これから塾に行き頑...続きを読む

Aベストアンサー

ウチの子(現高三)と同じ状況ですね。
ウチの子は、中三の春60ぐらいから、63の公立に行きました。
校内の成績は、9教科36~39ぐらい
220人中良いときで30番台後半、悪いときで60番ぐらい。5教科平均点は、400~420点でした。

どのデーターを取ってもほぼ同じですね。

>偏差値59ぐらいの子が偏差値を63まで上げるのは奇跡に近いと言われました。

ウチも中三春の時点で同じ事言われました。
子供の高校の同級生の話を聞くと、得点率90%は当たり前、5教科満点という強者も結構います。
ここで、偏差値の話から
偏差値65以上の上位7%に成績表の5が付きます。
偏差値63は、上位9.7%(22/223)
偏差値59は、上位18.5%(42/223)
となります。結構当たってますね。
つまり、63まで上げるということは、
学内で、22番以内に入るということです。
中間期末は、範囲も少ないので、突如ランクインすることもありますが、常時20番前後が出れば、偏差値63ぐらいなったと言って良いでしょう。

もし、受験直前まで偏差値63までたどり着かなかった場合、志望校の志願倍率などみて受験を決めたら良いと思います。1.1倍ぐらいなら、60ぐらいでも充分合格できると思います。(ウチの子の時はコレだった)
1.3倍だったら60では先ず無理だと思います。

普通、志願倍率が教育委員会から、HPに発表になってからも志願先を変更できると思います。(地域によって違うかも)

成績上位(43/223)から、22番ぐらいに上げるのは、『相手も頑張っている』ゾーンなので、結構努力が必要です。(それでも絶対ではない)

いずれにせよやる前にあきらめるより、直前まで頑張る事を小生は薦めます。

ウチの子(現高三)と同じ状況ですね。
ウチの子は、中三の春60ぐらいから、63の公立に行きました。
校内の成績は、9教科36~39ぐらい
220人中良いときで30番台後半、悪いときで60番ぐらい。5教科平均点は、400~420点でした。

どのデーターを取ってもほぼ同じですね。

>偏差値59ぐらいの子が偏差値を63まで上げるのは奇跡に近いと言われました。

ウチも中三春の時点で同じ事言われました。
子供の高校の同級生の話を聞くと、得点率90%は当たり前、5教科満点という強者...続きを読む


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