なぜ四元数は数学の表舞台で活躍できないのか

天才ハミルトンは複素数を３次元に拡張すべく、苦心惨憺して四元数を生み出しました。
しかし数学の世界では実関数を拡張した複素関数論は大活躍しても、四元数関数論なるものは殆ど聞きません。
なぜ四元数は数学の表舞台で活躍できないのでしょうか。

No.5 回答者： siegmund 回答日時： 2016/02/20 18:50

物理学者の siegmund です．

たしかに大きな本屋さんに行くと複素関数論の本は山ほどありますが，
四元数の本はいくつかあるものの四元数関数論というような表題の本は見たことがないですね
(いや，あるのかも知れませんが)．
quaternionic analysis (四元解析)でググると，Wikipedia の
https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternionic_analy …
や，論文
http://www.theworld.com/~sweetser/quaternions/ps …
などがヒットします．

オンサガーが２次元イジングモデルの厳密解を導いた話が統計力学の金字塔としてよく知られていますが，
元の論文では四元数を用いて解いています．
その後他の解き方も発見されて，普通に統計力学の教科書に載っているのは四元数を用いない解法です．
http://shadowacademy.web.fc2.com/quaternion.html
にありますように，四元数は２行２列のパウリ行列で表現できます．
パウリ行列はスピンが 1/2 の問題を表すものとして物理屋にはなじみが深いので，
四元数より使いやすいのかも知れません．

あと，四元数の拡張版の八元数(ケーリー代数)は素粒子論で見ますし，
もっと一般化した(？)クリフォード代数がどうのこうのという話も時々耳にします
難しくてよくわからないので，突っ込まないように(^^;)．

四元数・八元数とディラック理論(森田克貞，日本評論社)なんていう本もあります．
買ったけれど積ん読になっています(^^;)．

あまり回答になっていないような気もします．

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2016/02/20 13:00

ベクトルと行列で事足りるからでは?

複素数が活躍するのは実数では不足だからです。平方根など演算が閉じなくて困るから複素数まで拡張された。
一方で四元数はそういう理由がない。
単に次元を拡張するだけならベクトルや行列を持ち込めば話が済むし、次元数も自由に取れる。不自由な四元数を使う理由がないですね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/19 18:49

＞どこにそんなことが書いてありますか。

覚えてませんね～(^^; ハミルトンの短い伝記のようなものを
何かで読んだ覚えがあるのですが・・・

多分今は亡き「科学朝日」ではないかと・・・

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/19 08:08

数字屋ではないので、あまり詳しくありませんが

四元数というと、回転の表現に便利なのは知ってますが、
物理の世界では他にあまり応用例を知りません。

かつては物理の様々な分野(電磁気学等)で使われていたらしいですが
より単純で解りやすいベクトル解析に食われて衰退していったと
聞いてます。

数学界でどのような扱いになっているかはよく知りません。

この回答へのお礼

＞かつては物理の様々な分野(電磁気学等)で使われていたらしいですが
より単純で解りやすいベクトル解析に食われて衰退していったと
聞いてます。

なるほど、そうですか。
ちょっと調べてみたいですね。
どこにそんなことが書いてありますか。

お礼日時：2016/02/19 10:07

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/19 00:30

積が非可換なので扱いが面倒くさいんじゃないかねぇと思ったりする.